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#1 08-02-2015 18:31:25
- Océchuute
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Dm pour mardi (logarithme,limite, TVI, suite)
Bonsoir,
J'ai un exercice (DM) à faire pour mardi mais je suis complètement larguée!
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Exercice:
Soit f la fonction définie sur ]0;+infinie[ par f(x)= ln(1 + (1/x) ) - x
Partie A:
1.Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +infinie.
2.Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur ]0;+infinie[.
3. Montrer qu'il existe un unique réel alpha appartenant à ]0;+infinie[ tel que f(alpha)=0.En donner une valeur approchée de alpha à 10^-3 près.
Partie B:
Soit g la fonction définie sur ]0;+infinie[ par : par g(x)= ln(1 + (1/x)). La suite (Un) n appartenant à N est définie par Uo=1,5 et pour tout entier naturel n : Un+1 = g(Un).
1. Construire sur l'axe des abscisses les 5 premiers termes de la suite Un.
2. Votre construction permet-elle d'emettre les conjectures suivantes:
a. La suite est monotone
b. La suite est minorée par 0.5
c. La suite converge vers 1
3. On admet que la suite Un est converge vers une limite l, l>0. Montrer que : ln(1 + (1/l))=l, puis que l=alpha
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#2 08-02-2015 18:47:24
- ymagnyma
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Re : Dm pour mardi (logarithme,limite, TVI, suite)
Bonsoir, quand tu dis complètement larguée, ça veut dire quoi exactement, aucune stratégie en vue sur aucune question ?
Reprenons
Partie A
Q1 : limite en 0+
celle de 1/x ? celle de 1+1/x ? et donc celle de ln(1+1/x) ; celle de x ? et donc celle de f(x) ?
limite en + infinity ?
même décomposition.
Q2 Pour déterminer des variations, quelle stratégie possible, (et si souvent utilisée ?)
Q3 Vu le titre, de nouveau, quelle stratégie, quel théorème du cours, combien d'hypothèses, puis en pratique, n'as-tu jamais utilisé ta calculatrice ?(quel modèle, pour la suite)
Partie B
Q1 méthode de cours, utilisation de la droite d'équation y=x, tu connais ? (1S)
Q2 tu connais le vocabulaire ? monotone ?
minorée ?
converger ?
Q3 puisque (u_n) converge vers l, qu'en est-il de u_{n+1} ?
que devient alors, à la limite, l'équation u_{n+1}= g(u_n) ?
Lien entre les deux parties ?
Bon courage.
Dernière modification par ymagnyma (08-02-2015 18:47:40)
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#4 08-02-2015 20:43:45
- Océchuute
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Re : Dm pour mardi (logarithme,limite, TVI, suite)
Bonsoir,
excusez moi je n'étais plus identifié.
Partie A:
Q1. j'ai fais les limites
lim f(x)= +inf
x->0+
limf(x)=-inf
x->+inf
Q2. F'(x)= ((-1/x^2)/(1+(1/x)))-1
Le numérateur est négatif et on fait un tableau de signe et de variations puis f '(x) <0
Q3. Théorème des valeurs intermédiaire mais l'encadrement me manque.
Partie B:
Q1.
U0= 1,5
U1= 0,5
U2= 1,1
U3= 0,6
U4= 1
Q2. je le connais mais ne l'a pas trop compris en cours
Q3. l=x ?
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#5 09-02-2015 14:00:26
- ymagnyma
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Re : Dm pour mardi (logarithme,limite, TVI, suite)
Ben ça va tu n'étais pas si larguée, ok pour les réponses, Q1, Q2 et Q3, enfin, pour q3, quel modèle de calculatrice as-tu ?
tu traces la courbe puis tu détermines l'endroit où elle coupe l'axe des abscisses, la suite après.
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#7 09-02-2015 14:40:44
- ymagnyma
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Re : Dm pour mardi (logarithme,limite, TVI, suite)
Pour le vocabulaire, monotone, qui est soit décroissante, (à partir d'un certain rang), soit croissante, (à partir d'un certain rang), mais bref, qui, à partir d'un certain rang, garde garde la même monotonie.
minorée par a, c'est qu'elle est toujours plus grande que a, par exemple, une suite à valeurs positives est minorée par tous les nombres négatifs et par zéro,
enfin, converger vers l, c'est que, à partir d'un certain rang, u_n - l est proche de 0, et aussi proche de zéro que tu l'aurais préalablement fixé.
Sur le dessin, les réponses sont claires.
Dernière modification par ymagnyma (09-02-2015 14:54:47)
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#8 09-02-2015 14:56:53
- ymagnyma
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Re : Dm pour mardi (logarithme,limite, TVI, suite)
Enfin, pour BQ3, d'une part je t'ai demandé vers quoi convergeait (u_{n+1}=g(un)) sachant que u_n tend vers l.
d'autre part, l'énoncé te demande de montrer que l c'est le alpha de la partie A.
Fais-tu le lien ?
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#10 09-02-2015 17:15:00
- ymagnyma
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Re : Dm pour mardi (logarithme,limite, TVI, suite)
Ok pour alpha, et non, la suite n'est pas monotone, m'enfin, tu vois bien que un coup sur deux tu es au dessus ou en dessous de alpha :
u1<u3<alpha<u2<u0.
Pour une suite monotone, (mono : un seul, tone, ton), tu aurais soit u0<u1<u2<u3<u4 ... dans le cas croissant, soit ...<u4<u3<u2<u2<u0 dans le cas décroissant#
Que penses-tu du post #8 ?
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#12 09-02-2015 18:48:20
- ymagnyma
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Re : Dm pour mardi (logarithme,limite, TVI, suite)
Pour la minoration, peut importe les variations, la seule question, c'est existe-t-il une valeur, un plancher, sous laquelle, lequel, u_n n'ira pas.
Comme en effet, u1 est la plus petite valeur atteinte, u1 est un minorant de (un).
Par ailleurs, en effet, u_{n+1}tend vers g(l), (pas f(l)), et attention il n'y a pas égalité. C'est vrai et utile, mais justement, ce n'est pas u_{n+1} qui est égal à g(l), mais sa limite. Quelle est-elle, aussi ?
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