Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Sophonisbe

Membre

Inscription : 05-09-2014

Messages : 6

extraction diagonale

Bonjour,

J'essaye de résoudre un exercice portant sur les suites de carré sommable, mais je bloque sur une question, qui est la suivante~:

« On considère l'espace [tex]C=\{x \in l^2 ; |x_n| \leq 1/n \}[/tex]. Montrer que [tex]C[/tex] est fermé et borné. [tex]C[/tex] est-il compact ? »

J'ai réussi à faire la partie fermé borné. J'ai commencé à rédiger sur les indications de l'enseignant la réponse de C compact, mais je bloque sur le procédé d'extraction diagonale, que j'ai vraiment du mal à saisir. Voici le début de ma réponse~:

Soit [tex]x=(x^{(n)})_n \in C[/tex]. À [tex]k[/tex] fixé, [tex](x^{(n)}_{k})_{n}[/tex] est une suite réelle telle que [tex]|x^{(n)}_{k}| \leq 1/k \leq 1[/tex] ; le théorème de Bolzano-Weierstrass nous assure que [tex](x^{(n)}_{k})_{n}[/tex] admet une sous-suite qui converge, qu'on note [tex]y_k[/tex].

Pour [tex]k=1[/tex], soit [tex]\phi_1[/tex] une extractrice telle que [tex](x^{\phi_1(n)}_{k})_{n}[/tex] converge vers [tex]y_1[/tex].
Pour [tex]k=2[/tex], soit [tex]\phi_2=\phi_1 \circ \phi_2[/tex] une extractrice telle que [tex](x^{\phi_2(n)}_{k})_{n}[/tex] converge vers [tex]y_2[/tex].
[tex]\vdots[/tex]
Pour [tex]k=l[/tex], soit [tex]\phi_l=\phi_1 \circ \phi_2 \circ \dots \circ \phi_l[/tex] une extractrice telle que [tex](x^{\phi_l(n)}_{k})_{n}[/tex] converge vers [tex]y_l[/tex].

Je me suis arrêtée là. Je ne comprends pas très bien où est la «diagonale ». Je ne comprends pas non plus qui va être ma sous-suite ni vers quoi elle va converger.

Y aurait-il une âme chartiable pour m'aider à finir cette question ? D'avance je vous remercie.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : extraction diagonale

Bonjour,

La diagonale, c'est de considérer [tex]\psi(n)=\phi_n(n)[/tex]. Pour chaque entier [tex]k[/tex], la suite [tex](x_k^{\psi(n)})[/tex] dès que [tex]k\leq n[/tex] est une suite extraite de la suite [tex](x_k^{\psi_k(n)})[/tex], et elle est donc convergente.

Fred.

Sophonisbe

Membre

Inscription : 05-09-2014

Messages : 6

Re : extraction diagonale

OK merci beaucoup !