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htina

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dérivée dans D'

Bonsoir,
j'ai la question suivante:
soit [tex]\Omega[/tex] un ouvert de [tex]\mathbb{R}^2[/tex], de classe[tex] C^{\infty}[/tex], tel que [tex]\Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2[/tex] où [tex]\Omega_1[/tex]et [tex]\Omega_2[/tex] sont deux ouverts disjoints.
On considère la fonction[tex] u[/tex] définie par[tex] u=u_1 \chi_{\Omega_1} + u_2 \chi_{\Omega_2}[/tex], telle que [tex]u_i \in C^1(\Omega_i)[/tex], [tex]i=1,2[/tex].
Comment calculer[tex] \nabla u[/tex] dans [tex]\mathcal{D'}(\Omega)[/tex]? Si on prend [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\Omega),[/tex] on a:
soit [tex]\varphi \in D(\Omega)[/tex]. Puisque u est continue, elle est intégrable c'est à dire qu'elle appartient à [tex]L^1(\Omega)[/tex], et par conséquent, elle est localement intégrable sur [tex]\Omega[/tex], et on peut écrire:
[tex]<\nabla u, \varphi> = \int_{\Omega_1} u_1 \nabla \varphi d\Omega_1 + \int_{\Omega_2} u_2 \nabla \varphi d\Omega_2[/tex]
[tex]= \int_{\Gamma_1} u_1 \varphi \eta_1 d \Gamma_1 - \int_{\Omega_1} \nabla u_1 \varphi d\Omega_1 
   + \int_{\Gamma_2} u_2 \varphi \eta_2 d \Gamma_2 - \int_{\Omega_2} \nabla u_2 \varphi d\Omega_2[/tex]
où [tex]\eta_i[/tex] est la normale sortante  de [tex]\Gamma_i[/tex], [tex]i=1,2[/tex].
donc,
[tex]\nabla u = - \nabla u_1 - \nabla u_2 + (u_1 \eta_1 + u_2 \eta_2)[/tex].
Qu'est ce qu'il manque pour compléter la réponse que je propose? Merci.