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JG

Invité

Dénombrement.

Bonjour,

Je sollicite votre aide sur un exercice qui ne me paraît pas super compliqué mais bon...
Alors on me demande simplement si l'ensemble des suites à valeurs rationnelles est dénombrable.
J'avais l'idée de procéder par récurrence en disant que les suites de cet ensemble sont à valeurs dans Q^n, avec n un entier naturel.
Par récurrence on peut montrer que pour tout n de N, Q^n est dénombrable.
Mais le résultat me semble bizarre, car je me dis qu'une suite pourrait avoir un comportement complètement irrationnel et on se retrouverait avec un produit infini d'ensembles dénombrables.

Bref, si vous vouliez bien me donner un coup de main pour ne pas dire d'âneries...
J'espère avoir été clair.

Merci à vous et bonne journée.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Dénombrement.

Salut,

  Pas compliqué, pas compliqué,..., pas si simple en fait!
La réponse est non : l'ensemble de ces suites n'est pas dénombrable. D'ailleurs, l'ensemble des suites à valeurs dans {0,1} n'est déjà pas dénombrable. En effet, on peut construire une injection de [0,1[ dans l'ensemble de ces suites. Pour cela,
on écrit chaque réel x de [0,1[ en écriture binaire : [tex]x=0,u_1u_2u_3\dots [/tex]. L'application qui à x associe la suite de ses chiffres en binaire est injective, et donc on construit bien une injection de [0,1[, qui n'est pas dénombrable, dans l'ensemble des suites à valeurs dans {0,1}.

Fred.