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htina

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Fonctions H^1

Bonjour,

soit la fonction
[tex]f(x)=
\begin{cases}
&1: \quad |x|\leq 1\\
&0: \quad |x|>1
\end{cases}
[/tex]
est-ce que [tex]f \in H^1(\mathbb{R})[/tex]? Et pourquoi? S'il vous plaît.

Voilà ce que j'ai fait.
1- On regarde si[tex] f \in L^2(\mathbb{R})[/tex]. pour ca, il faut s'assurer que [tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}} |f|^2 dx < \infty[/tex].
On a [tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}} |f(x)| dx = \displaystyle\int_{-1}^1 dx + \displaystyle\int_1^{+\infty} 0 dx + \displaystyle\int_{-\infty}^{-1}0 dx= \displaystyle\int_{-1}^1 dx = 2 < +\infty[/tex]$. Donc, $[tex]f \in L^2(\mathbb{R})[/tex].

2-On regarde si [tex]f' \in L^2(\mathbb{R})[/tex]. ([tex]f'[/tex] ici est au sens faible). Puisque [tex]f \in L^2(\mathbb{R})[/tex], alors [tex]f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})[/tex], et il définit la distribution: [tex]<f,\varphi>=\displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) \varphi (x) dx[/tex] pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex].
On a
[tex]<f',\varphi>= - <f,\varphi'>= - \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi'(x) dx = \varphi(-1) - \varphi(1).[/tex]
Comment on conclut que [tex]f' \in L^2(\mathbb{R})[/tex]?

Merci beaucoup.

Dernière modification par yoshi (29-01-2015 14:55:35)