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#1 23-01-2015 16:21:32
- mona123
- Invité
espace de hilbert
bonjour j'ai besoin d'aide pour resoudre ce probleme:
soi I un ensemble quelquenque
L'espace de ℓ2(I), constitué des fonctions x:I →ℂ telles que x(i)=0 pour i ∈ a un ensemble denombrable et
\sum_{i=0}^\infty|x(i)|^2<+\infty,
le produit hermitien de deux suites x et y étant par définition la somme de la série
\sum_{i=0}^\infty x(i)\overline{y}_(i).
montre que ℓ2(I) est un espace de Hilbert
pouvez vous m'aidez s'il vous plait .mercie
#3 24-01-2015 15:39:58
- mona123
- Invité
Re : espace de hilbert
bonjour Fred
tout ce que je sait est que pour montrer que l2(I) est complet on doit montrer que toute Suite de Cauchy dans l2 (I) est covergente mais je ne sait pas comment faire
peut tu m'aider?merci
#4 24-01-2015 19:30:40
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : espace de hilbert
Salut,
La méthode est toujours Soit [tex](x_n)[/tex] une suite de Cauchy de l2(I).
Alors :
Etape 1 : pour tout i de I, la suite [tex] (x_n(i))[/tex] est une suite de Cauchy de l2(I). Puisque [tex]\mathbb C[/tex] est complet, elle converge vers un certain [tex]x(i)[/tex]
Etape 2 : On prouve que [tex]x=(x(i))[/tex] est dans l2(I). Pour cela, on sait (appliquer la définition des suites de Cauchy pour [tex]\epsilon=1[/tex]) que
[tex]\exists N,\ q\geq p\geq N\implies \|x_q-x_p\|\leq 1\implies \left(\sum_{i\in J}|x_q(i)|^2\right)^{1/2}\leq 1+\|x_p\|_2 [/tex]
où J est n'importe quelle partie finie de I.
On fait ensuite tendre q vers l'infini, et comme c'est vrai pour tout J fini, on a finalement [tex]\|x\|\leq 1+\|x_p\|_2 [/tex]
Etape 3 : On démontre que [tex](x_n)[/tex] converge vers x dans l2(I); on procède à peu près comme à l'étape 2.
F.
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