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Blis3

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Calcul d'une primitive

Bonjour, je rencontre des difficultés à calculer l'intégrale suivante :

A=\int_0^{+\infty}\,\e^-t²\,dt.

J'ai d'abord montré que cette intervalle convergeait mais ce n'est pas la question...faut il faire une intégration par partie?

merci de m'aider  !

Blis3

Invité

Re : Calcul d'une primitive

revoici la bonne intégrale :

[tex]\int_0^{+\infty}\,e^{-t^2}\,dt[/tex]

totomm

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Re : Calcul d'une primitive

Bonjour,

Dans mes souvenirs, on écrit [tex]I^2=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty} {e^{-(x^2+y^2)} dxdy}[/tex] et on passe en coordonnées polaires

genre [tex]x^2+y^2=R^2[/tex] et [tex]dxdy=RdRd\theta[/tex]... d'où [tex]I^2=\frac{\pi}{4}[/tex]

Dernière modification par totomm (18-01-2015 08:43:11)

Blis3

Invité

Re : Calcul d'une primitive

bonjour, le problème c'est que notre prof nous a parlé à aucun moment de coordonnées polaires...je ne vois pas trop comment résoudre avec les coordonnées polaires. En fait, je croyais qu'il fallait utiliser les intégrales généralisées mais ici, ça nous donnerait juste la convergence.

Après je suis preneuse de votre méthode à condition que vous me la détailliez un petit peu plus^^

Fred

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Re : Calcul d'une primitive

Salut,

  La fonction [tex]x\mapsto e^{-x^2}[/tex] n'admet pas de primitives qui s'obtient avec des fonctions connues (exponentielle, puissance, logarithmes,...). Par conséquent, tu ne peux pas calculer l'intégrale demandée avec un calcul de primitive. Il existe néanmoins plusieurs méthodes pour calculer cette intégrale. Totomm t'as donné la plus facile si on connait les intégrales multiples. Il en existe d'autres mais aucune n'est vraiment triviale. Par exemple, sur cette feuille d'exercices du site, tu en trouveras une autre à base de fonctions définies par une intégrale.

F.

Blis3

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Re : Calcul d'une primitive

ok merci

totomm

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Re : Calcul d'une primitive

ReBonjour,

Après je suis preneuse de votre méthode à condition que vous me la détailliez un petit peu plus^^

Avec plaisir, car si je me souviens (depuis bien des années) de cette intégrale définie, c'est qu'elle fut un de mes premiers émerveillement concernant les intégrales doubles.
Dans ces années on apprenait simplement : Si [tex]f(x,y)=g(x)\times h(y)[/tex] alors [tex]\int \int f(x,y) dx dy=\int g(x) dx \times \int h(y) dy [/tex]

Donc aucune difficulté pour comprendre que [tex]I^2=\big( \int_0^{\infty} e^{-x^2} dx \big)^2=\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx \times \int_0^{\infty} e^{-y^2} dy=\int_{x=0}^{\infty}\int_{y=0}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy[/tex]

Ensuite en coordonnées polaires : [tex]x^2+y^2=R^2[/tex] et l'élément [tex]dxdy[/tex] est remplacé par [tex]RdRd\theta[/tex], donc dans le premier quart du plan :
[tex]I^2=\int_{R=0}^{\infty}\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-R^2} R dR d\theta=\int_{R=0}^{\infty} e^{-R^2} R dR \times \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta=\frac{1}{2}\int_{R=0}^{\infty} e^{-R^2} 2R dR \times \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta[/tex]

[tex]I^2=\frac{1}{2} {[-e^{-R^2}]}_0^{\infty} \times [\theta]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}[/tex]

Blis3

Invité

Re : Calcul d'une primitive

merci beaucoup !! Je vais essayer de décortiquer tout ça :)