Le verre et la monnaie

al berto · 23-12-2014 13:37:31

Bonjour, bonnes fêtes!

J'ai trouvé une question dont il y a la réponse, mais pas l'explication :
Si on fait tourner une monnaie autour du pied d'un verre, dont la circonférence est de 21 centimètres, pendant que cette de la monnaie il est de 3, combien de tours sur si même il y à la monnaie pour en compléter un autour du verre ? J'ajouterais : et pourquoi ?

Réponses:
Choisir
a) 7
b) 8
c) 7+1

ciao a tutti
aldo

Dernière modification par al berto (23-12-2014 13:40:00)

tibo · 23-12-2014 16:18:06

Salut,

Il doit y avoir un problème dans les réponses b) et c) car 8=7+1

Je reformule "en français".
On fait rouler une pièce de monnaie de circonférence 3cm autour du pied d'un verre de circonférence 21 cm.
Combien de tours fait la pièce pour faire un tour complet du verre?
Ai-je bien compris?

On peut se ramener à un problème rectiligne:
Prenons 2 bouts de ficelle.
1 faisant le tour du verre, soit 21cm
et 1 faisant le tour de la pièce, soit 3cm
La question est de savoir combien de petit bouts de ficelle il y a dans le grand.

Dernière modification par tibo (23-12-2014 16:19:59)

yoshi · 23-12-2014 16:31:45

Re,

Moi, c'est ça qui m'intrigue :

même il y à la monnaie pour en compléter un autour du verre

Allez, Aldo, récris le tout en italien et je verrai alors comment le traduire...

@+

al berto · 23-12-2014 19:11:46

Buonasera e buone feste.
Merci yoshi.
Je suis un peu démoralisé pour mon Français…:-D

Ho trovato un quesito di cui c'è la risposta, ma non la spiegazione:
Se si fa girare una moneta attorno al piede di un bicchiere, la circonferenza del quale è di 21 centimetri, mentre quella della moneta è di 3, quanti giri su se stessa fà la moneta per completarne uno attorno al bicchiere?
Io aggiungerei: e perchè?
Risposte:
a) 7
b) 8
c) 7+1
ciao.
aldo

Dernière modification par al berto (23-12-2014 20:03:26)

yoshi · 23-12-2014 19:58:03

Bonsoir,

Je suis un peu démoralisé par mon Français…:-D

Non, il ne faut pas : parler français et faire des mathématiques en français sont deux niveaux de difficulté différents...
C'est comme résoudre un exercice pour soi-même et présenter sa soilution pour que d'autres la comprenne...

Vu ton texte en italien, la formulation de tibo est bonne.
Je devais être endormi :
quanti giri su se stessa = combien de tours sur elle-même...

Alors, moi non plus je ne comprends pas le 7+1...
Pourquoi a-t-on le choix entre 7+1 et 8 ? puisque 7+1=8...
Avec la traduction de tibo, c'est bien trop simple, il doit y avoir une astuce ou un problème d'énoncé.

Ce serait bien plus difficile si on posait des pièces de monnaie tangentes l'une à l'autre autour du pied du verre...

@+

al berto · 23-12-2014 20:27:50

Bonsoir,
@tibo
excuses-moi beaucoup, j'ai pensé à reformuler le problème en Italien .....
Ta réformulation en français va bien :
Seulment: combien de tours sur elle-même...
Comment a écrit yoshi.

Les réponses 8, 7+1 elles sont écrites sur le texte original.
ciao.
aldo

al berto · 24-12-2014 16:43:16

Bonjour,
Je crois qu'entre mon mauvais Français, la traduction en Italien et l'aide de yoshi et tibo, le texte du problème soit clair.
Je peux dire qu'il ne s'agit pas d'un problème rectiligne, mais circulaire.
Voulez-vous choisir, s'il vous plait, entre les réponses a), b), c) ? Et pourquoi?
Merci.
aldo

al berto · 26-12-2014 14:48:19

Bonjour,

yoshi a écrit :

Alors, moi non plus je ne comprends pas le 7+1...
Pourquoi a-t-on le choix entre 7+1 et 8 ? puisque 7+1=8...
Avec la traduction de tibo, c'est bien trop simple, il doit y avoir une astuce ou un problème d'énoncé.

Jusqu'à présent qui est allé plus près de la réponse exacte il a été yoshi.

▼astuce

ciao
aldo

Boody · 26-12-2014 23:26:55

Bonjour,

je pense qu'il faut choisir la

▼solution

▼ l'exemple des bouts de ficelles était bien vu ... mais en fait on ne peut pas se rapporter à un problème rectiligne.

▼l'exemple classique est

▼cela s'appelle la rotation...

EDIT: ajout illustration

▼bref soyez un peu dans la lune :)

(cf. Wikipedia)

Dernière modification par Boody (26-12-2014 23:58:11)

al berto · 27-12-2014 16:45:28

Bonjour a tutti,

@Boody.
Merci d'avoir choisi.

▼explication

▼exemple

C'est un peu difficile pour moi m'expliquer en Francais, si vous voulez je peux traduir en Italien.
ciao.
aldo

Boody · 27-12-2014 17:53:25

Bonjour,

▼je n'ai peut-être pas été très clair mais je voulais bien dire que

al berto · 28-12-2014 16:22:25

Bonjour,
Bravo Boody.

▼solution

Ciao.
Merci a tutti.
aldo

freddy · 12-01-2015 09:07:48

Ciao a tutti !

J'élève la plus vive protestation à propos de cette énigme qui joue autant sur la réflexion que sur le sens des mots.
Déjà dans la langue de Molière, ça peut faire tourner la tête mais dans la langue de Rossini traduite (trahie) dans celle de Pascal, c'est à faire perdre le peu de cheveux qui me restent.

"Combien de tours sur elle-même fait elle ?..."

Al berto, tu n'as plus le droit de nous faire des farces comme ça : obligation de nous fournir la version anglaise exacte :-)))

yoshi · 12-01-2015 11:20:43

Salut freddy,

Content de voir que tu n'es pas coupé du monde !

Déjà dans la langue de Molière, ça peut faire tourner la tête mais dans la langue de Rossini traduite (trahie) dans celle de Pascal, c'est à faire perdre le peu de cheveux qui me restent.

Oui, en italien, un aphorisme dit "traduttore, traditore" = traducteur, traître...
Non, la traduction de l'italien au français est conforme à l'original...

Qu'est-ce qui te fait penser que cette énigme est d'origine anglaise ?

@+

al berto · 12-01-2015 16:18:55

Buongiorno a tutti.
@Freddy.
Je m'excuse avec tous, ancore une fois, pour mon mauvais Français.
Je comprends que cela peut créer des malentendus.
Je suis heureux que ta émoticône n'était pas :-(((.

"Combien de tours sur elle-même fait elle ?..."
La solution est : 8 tours sur elle-même.
Je ne connais aucune version anglaise.

al berto a écrit :

J'ai trouvé une question dont il y a la réponse, mais pas l'explication

S'il y a une autre explication je suis bien heureux de la connaître.
ciao a tutti. :-))).
aldo

Post scriptum.
@Yoshi
"Arx Tarpeia Capitoli proxima..."
On peut la traduire par la phrase « La roche Tarpéienne est proche du Capitole ». On l'utilise pour dire qu'après les honneurs, les défaites peuvent arriver très vite. Elle fait réference au fait que dans la Rome antique, la Capitole était le lieu du pouvoir, tandis qu'on exécutait les criminels en les jetant du haut de cette roche.

yoshi · 12-01-2015 16:25:03

RE,

@Yoshi
"Arx Tarpeia Capitoli proxima..."
On peut la traduire par la phrase « La roche Tarpéienne est proche du Capitole ». On l'utilise pour dire qu'après les honneurs, les défaites peuvent arriver très vite. Elle fait réference au fait que dans la Rome antique, la Capitole était le lieu du pouvoir, tandis qu'on exécutait les criminels en les jetant du haut de cette roche.

Oui, je le savais, c'est bien pourquoi j'ai choisi cela : voir mon post#8 de 2007 http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 4892#p4892

Michel Eyquem Seigneur de Montaigne, auteur des Essais, y a écrit (XVIe siècle, je crois) :
<< Au plus haut trône du monde, on n'est jamais assis que sur son cul. >>
Le mot "cul", à cette époque-là était loin d'être aussi grossier qu'aujourd'hui.
C'est un peu dans la même veine...

@+

al berto · 12-01-2015 21:32:57

RE,
Sûrement si tu a choisi cela, tu le savais.
Je ne savais pas par contre « assis que sur son cul » ;-)
ciao

yoshi · 13-01-2015 14:33:53

Salut Al Berto,

Je ne savais pas par contre « assis que sur son cul » ;-)

Il aurait fallu pour cela que tu sois fan des citations bizarres françaises...
Au plus haut trône : aujourd'hui, on dirait "Sur le"...

Hors-Sujet
<< Lasciate ogni speranza voi ch'entrate... >>
et
<< Poscia, più che'l dolor potè il digiuno.. >>
Pour la 2nde c'est l'orthographe d'origine, 50 ans après, je m'en souviens encore...
Aujourd'hui certains écrivent - dans la citation - poté et non potè : pour moi, à l'oreille, ce n'est pas correct...

Les connais-tu (sans utiliser Google !) ?

@+

al berto · 13-01-2015 22:53:57

@Yoshi, salut

Hors-Sujet

Allora, adesso scrivo in italiano.
Per me è troppo difficile spiegarmi in francese su questo argomento.
La frase :"Al più alto trono..." si può intendere :"Arrivato al più alto trono... oppure: "Arrivato sul più alto trono.." cest la même chose, pour moi.
Le frasi di Dante le conosco (Inferno).
"Lasciate ogni speranza voi ch'entrate... "aujourd'hui, on dirait, peut-être: "voi che entrate"
" Poscia, più che'l dolor potè il digiuno.."sul mio libro della Divina Commedia trovo scritto:"Poscia, piú che 'l dolor, poté 'l digiuno..."
cioè con l'accento acuto sulla "ú", la virgola dopo "dolor" e l'accento acuto sulla "é" di "poté"e tutti e due " 'l ".
In effetti io pronuncio "poté" come "perché, come voi "café". Esempio, in italiano: "téma"=(crainte), "tèma"=(thème).
Come lo pronuncio io...
Dante, non lo so... , forse i Toscani...
Devo riconoscere che sei un critico, commentatore molto valido e scrupoloso.
Non so se è questo che tu volevi sapere, spero di sì.
"non vide mei di me chi vide il vero"
oppure"non vide me' di me chi vide il vero"
ciao.
aldo

Dernière modification par al berto (13-01-2015 23:11:08)

yoshi · 14-01-2015 14:44:59

Bonjour,

D'accord l'accent sur le u n'est pas le bon : j'avais oublié !
Bon je reviens sur l'énigme...
En rouge, le pied du verre ; en vert la pièce de monnaie...
O est le centre du cercle qui représente le pied du verre, I le centre du cercle qui représente la pièce de monnaie, V le point de la pièce de monnaie qui est le point de tangence entre les 2 cercles (V parce que j'ai pensé valve de roue de bicyclette :-D).
A partir de cette position, je fais rouler - sans glisser - le cercle vert sur le cercle rouge, jusqu'à ce que le point V revienne à sa position de départ.
La courbe bleue (qui s'appelle épicycloïde) est la courbe décrite par le point V.
Après le point V, le 1er point de contact est atteint lorsque le cercle vert a tourné de 360°, c'est à dire a fait un tour complet...
Ce qui me trouble est que je compte 7 tours !
Dessin fait avec le module turtle du langage Python :

Donc je ne comprends toujours pas la réponse 7+1...

@+

tibo · 14-01-2015 15:18:38

Salut,

Je reprend tes notations.
Lorsque le point V touche à nouveau le cercle, la pièce n'a pas fait exactement un tour sur elle-même.En réalité elle a fait un peu plus.
Pour être exacte, si on mesure l'angle parcouru par le segment [IV] entre deux contact, on obtient [tex]2\pi+\frac{2\pi}{7}[/tex].
Et vu que le point V touche 7 fois le cercle rouge, ça fait donc 7 tours + [tex]7\times\frac{2\pi}{7}=2\pi[/tex] soit 1 tour.
D'ou la réponse 7+1

yoshi · 14-01-2015 15:42:09

RE,

J'appelle V1 le 2nd point V (dans le sens trigo), et I1 le point I correspondant.
[tex]\widehat{VOV1}=\frac{2\pi}{7}[/tex]
La longueur de l'arc de cercle rouge VV1 (avec R=7r) est donc[tex] L_V=7r\times\frac{2\pi}{7}=2\pi r[/tex]
La distance parcourue par le point I est celle de l'arc l'arc II1 : [tex]L_I=8r\times\frac{2\pi}{7}=\frac{16\pi r}{7}[/tex]
[tex]L_I-L_V = 8r\times\frac{2\pi}{7}-7r\times\frac{2\pi}{7}=\frac{2\pi}{7}\times r[/tex]
Dans le cas d'une cycloïde où le cercle sur une droite, le problème ne se pose pas...

C'est ça ?

@+

tibo · 14-01-2015 23:20:55

Voilà c'est ça.

C'est aussi pour ça que mon analogie avec les bouts de ficelle était fausse.

yoshi · 16-01-2015 13:39:39

Bonjour,

J'ai voulu tenter un calcul approché de la longueur d'une spire correspondant à un angle de [tex]\frac{2\pi}{7}[/tex]

L'équation en coordonnées de polaire de mon épicycloïde est :
[tex]x(\theta)= 8r\cos(\theta)-r\cos(8\theta)[/tex]
[tex]y(\theta)= 8r\sin(\theta)-r\sin(8\theta)[/tex]

[tex]x'(\theta) =-8r\sin(\theta)+8r\sin(8\theta) = 8r(\sin(8\theta)-sin(\theta))[/tex]
[tex]y'(\theta)=8r\cos(\theta)-8r\cos(8\theta) = 8r(\cos(\theta)-\cos(8\theta))[/tex]

---------------------------------------------------------

[tex]x'(\theta)^2+y'(\theta)^2 = 64r^2\left[(\sin(8\theta)-sin(\theta))^2+(\cos(\theta)-\cos(8\theta))^2\right][/tex]

[tex]\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2} = 8r\sqrt{(\sin(8\theta)-sin(\theta))^2+(\cos(\theta)-\cos(8\theta))^2}[/tex]

Je tente un calcul approché de la longueur !
[tex]L=\int_0^{\frac{2\pi}{7}}\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2}d\theta[/tex] (la formule n'est pas de moi)

[tex]L=8r\int_0^{\frac{2\pi}{7}}\sqrt{(\sin(8\theta)-sin(\theta))^2+(\cos(\theta)-\cos(8\theta))^2}d\theta[/tex]

Soit avec Wolfram Mathematica :
[tex]L=8r\left[-\frac 4 7 \sqrt{\sin^2\left(\frac{7\theta}{2}\right)}\times\frac{1}{\tan\left(\frac{7\theta}{2}\right)}\right]_0^{\frac{2\pi}{7}} [/tex]

Et il y a problème : si [tex]\theta = 0[/tex] la tangente est nulle et il y a division par zéro, au mieux indétermination à lever...

Je crois l'avoir levée, mais mon résultat est farfelu...

Donc, il va falloir que je reprenne tout sauf si un oeil de lynx de passage me disait où j'ai fait erreur...

@+

totomm · 16-01-2015 21:30:56

Bonsoir,

Partant de [tex]L=8r\int_0^{\frac{2\pi}{7}}\sqrt{(\sin(8\theta)-\sin(\theta))^2+(\cos(\theta)-\cos(8\theta))^2}d\theta[/tex]

Sans faire appel à Wolfram , le développement des carrés donne :
[tex]C= (\sin(8\theta)-\sin(\theta))^2+(\cos(\theta)-\cos(8\theta))^2[/tex]
[tex]C=2-2(-\sin(8\theta) \sin(\theta) - \cos(\theta)\cos(8\theta))=2-2\cos(7\theta)[/tex]
[tex]C=2-2(2\cos^2(\frac{7\theta}{2})-1)[/tex]
[tex]C=4(1-\cos^2(\frac{7\theta}{2})=4\sin^2(\frac{7\theta}{2})[/tex]
D'où [tex]L=8r\int_0^{\frac{2\pi}{7}} 2\sin (\frac{7\theta}{2}) d\theta[/tex]
Posant [tex]t=\frac{7\theta}{2}[/tex] on obtient pour une arche de l'épicycloïde :
[tex]L=\frac{32r}{7}\int_0^{\pi} sin(t) dt =\frac{64r}{7}[/tex] (en choisissant le signe - après extraction de la racine carrée…)

Edit : En quoi la solution donnée par Wolfram est-elle farfelue ? je retrouve la même !! sur une intégrale indéfinie, on simplifie sans se poser de problème avant d’installer l'intervalle de définition...( sauf cas vraiment particuliers )

Dernière modification par totomm (16-01-2015 21:53:24)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 23-12-2014 13:37:31

Le verre et la monnaie

#2 23-12-2014 16:18:06

Re : Le verre et la monnaie

#3 23-12-2014 16:31:45

Re : Le verre et la monnaie

#4 23-12-2014 19:11:46

Re : Le verre et la monnaie

#5 23-12-2014 19:58:03

Re : Le verre et la monnaie

#6 23-12-2014 20:27:50

Re : Le verre et la monnaie

#7 24-12-2014 16:43:16

Re : Le verre et la monnaie

#8 26-12-2014 14:48:19

Re : Le verre et la monnaie

#9 26-12-2014 23:26:55

Re : Le verre et la monnaie

#10 27-12-2014 16:45:28

Re : Le verre et la monnaie

#11 27-12-2014 17:53:25

Re : Le verre et la monnaie

#12 28-12-2014 16:22:25

Re : Le verre et la monnaie

#13 12-01-2015 09:07:48

Re : Le verre et la monnaie

#14 12-01-2015 11:20:43

Re : Le verre et la monnaie

#15 12-01-2015 16:18:55

Re : Le verre et la monnaie

#16 12-01-2015 16:25:03

Re : Le verre et la monnaie

#17 12-01-2015 21:32:57

Re : Le verre et la monnaie

#18 13-01-2015 14:33:53

Re : Le verre et la monnaie

#19 13-01-2015 22:53:57

Re : Le verre et la monnaie

#20 14-01-2015 14:44:59

Re : Le verre et la monnaie

#21 14-01-2015 15:18:38

Re : Le verre et la monnaie

#22 14-01-2015 15:42:09

Re : Le verre et la monnaie

#23 14-01-2015 23:20:55

Re : Le verre et la monnaie

#24 16-01-2015 13:39:39

Re : Le verre et la monnaie

#25 16-01-2015 21:30:56

Re : Le verre et la monnaie

Réponse rapide

Pied de page des forums