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#28 06-01-2015 21:59:08
- htina
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Re : produit scalaire
ok, alors on pose [tex]\eta_j=e_j[/tex] où [tex](e_j)_j[/tex] est la base canonique. Ainsi, la matrice associée à [tex]F[/tex] est diagonale est ses coefficients sont strictement positifs. C'est bien ca?
Comment en déduire que [tex]|F(\eta') - F(\eta'')| \geq |\eta' - \eta''|[/tex]? Merci beaucoup.
Dernière modification par htina (06-01-2015 22:11:00)
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#30 08-01-2015 10:17:02
- htina
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Re : produit scalaire
Bonjour,
F est linéaire, et on cherche à montrer que[tex] |F(\eta'_j) - F(\eta''_j)| \geq C |\eta'_j - \eta''_j|[/tex].
On a:
[tex]||F(\eta') - F(\eta'')||^2_{\mathbb{R}^n} = ||F(\eta' - \eta'')||^2_{\mathbb{R}^n} = \sum_{1 \leq j \leq n} (\eta'_j-\eta''_j)^2 ||\psi_j||^2_{L^2} \geq (\min_{1 \leq j \leq n} ||\psi_j||^2_{L^2}) \sum_j (\eta'_j - \eta''_j)^2 = C ||\eta - \eta''||^2_{\mathbb{R}^n}[/tex]
Est-ce qu'on peut en déduire que pour tout [tex]1 \leq j \leq n[/tex], [tex] |F(\eta'_j) - F(\eta''_j)| \geq C |\eta'_j - \eta''_j|[/tex]?
Merci beaucoup.
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#34 09-01-2015 11:49:10
- htina
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Re : produit scalaire
Fred s'il vous plaît, quel est votre avis? écrire [tex]F(ηj)[/tex] a un sens, non?
----------------------------------
[EDIT]by Yoshi - Modérateur
Ceci est le 3e post demandant une réponse.
Un suffisait largement. Le reste c'est du harcèlement...
Attention !
Dernière modification par yoshi (09-01-2015 19:13:01)
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#36 09-01-2015 19:15:53
- htina
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Re : produit scalaire
S'il vous plaît Fred, aidez moi sur cette question. Si on a un domaine [tex]\Omega[/tex] constitué de deux sous domaine [tex]\Omega_1[/tex] et [tex]\Omega_2[/tex], et on définit une application continue de [tex]L^2[/tex] dans [tex]L^2[/tex] définie par
[tex]U(u)
=
\begin{cases}
& u \quad \mbox{dans } \Omega_1\\
& C(u) \quad \mbox{dans } \Omega_2
\end{cases}[/tex]
et[tex] u=C(u)[/tex] sur l'interface entre [tex]\Omega_1[/tex] et [tex]\Omega_2[/tex].
où[tex] C[/tex] est une fonction positive, décroissante, continue de classe $C^1$ sur [tex][0,1][/tex],
On définit l'application [tex]F[/tex] de[tex] \mathbb{R}^n[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] par
[tex](\eta_j)_{1 \leq j \leq N} \to u=\sum_j \eta_j \psi_j \to \{(U(u), \psi_k)_{L^2}\}[/tex]
[tex]\{\psi_j\}_j[/tex] est une base orthogonale de [tex]L^2[/tex]
J'ai montré que
[tex](F(\eta') - F(\eta'')).(\eta' - \eta'') = (U(u') - U(u''), u'-u'')_{L^2}[/tex]
Ma question est comment montrer que [tex] (U(u') - U(u''), u'-u'')_{L^2} \geq C ||u'-u''||^2_{L^2}[/tex]?
Merci beaucoup.
Dernière modification par htina (10-01-2015 08:50:39)
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#37 10-01-2015 00:08:47
- htina
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Re : produit scalaire
Est-ce que l'égalité des accroissements finis suffit? on a
[tex](U(u')-U(u''),u'-u'')= (u'-u'',u'-u'')_{L^2(\Omega_1)} +(C(u')-C(u''),u'-u'')_{L^2(\Omega_1)} [/tex],
et pas les accroissements finis, [tex](C(u')-C(u'')) = C'(u) (u'-u'') \geq \min_{s \in [0,1]} C'(s)(u'-u'')[/tex].
Donc,
[tex](U(u')-U(u''),u'-u'')\geq (u'-u'',u'-u'')_{L^2(\Omega_1)} +C (u'-u'',u'-u'')_{L^2(\Omega_1)} [/tex], où [tex]C=\min_{s \in [0,1]} C(s) \geq (C+1) (u'-u'',u'-u'')_{L^2(B)}[/tex].
C'est bon?
Dernière modification par htina (10-01-2015 00:10:02)
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#38 10-01-2015 17:27:56
- Fred
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Re : produit scalaire
Je ne suis pas sûr que cela t'aide beaucoup car [tex]C<0[/tex] (la fonction est décroissante).
Je ne pense pas que ce que tu veux démontrer soit vrai. Imagine que [tex]\Omega_2=\Omega[/tex] et que [tex]C[/tex] soit constante. Alors U(u)-U(u')=0....
Fred.
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#39 10-01-2015 17:51:05
- htina
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Re : produit scalaire
Non, [tex]C[/tex] est positive, elle est décroissante mais positive. De plus c'est impossible que[tex] \Omega_2[/tex] soit identique à [tex]\Omega[/tex] où que C soit constante.Avec ces informations, ce que j'ai dis dans mes deux posts est vrai? Merci beaucoup.
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#41 10-01-2015 19:13:07
- htina
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Re : produit scalaire
Et si au lieu de l'inégalité, j'utilisais l'égalité des accroissements finis? Ca donnerai que [tex] (C(u') - C(u''))= C'(u)(u'-u'') [/tex] et ce dernier est [tex]\geq \min_{s \in [0,1] } C'(s) (u'-u'')[/tex]?
Merci beaucoup.
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