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#1 01-01-2015 09:15:52
- Blis3
- Invité
Continuité / dérivabilité / limite
Bonjour à tous, j'aimerais avoir une aide pour cet exercice car je n'arrive pas à le faire :
Soit f:[a,b]-->R continue sur [a,b] et p et q deux réels positifs.
a) Dans cette question, on suppose que l'un au moins des réels p et q est strictement positif. Montrer que : [tex][(pf(a)+qf(b))/(p+q)-f(a)]*[(pf(a)+qf(b))/(p+q)-f(b)]<=0[/tex].
b) En déduire que [tex](pf(a)+qf(b))/(p+q)[/tex] appartient à l'intervalle d'extrémités f(a) et f(b)
c) Montrer alors qu'il existe un c appartenant à [a,b] tel que pf(a)+qf(b)=(p+q)f(c)
je pense qu'il va falloir utiliser le théorème des accroissement finis notamment à la dernière question mais je bloque avant. pour la a) faut il travailler avec des valeurs absolues, l'inégalité triangulaire ??
merci de me donner des pistes !
#3 01-01-2015 10:38:06
- Blis3
- Invité
Re : Continuité / dérivabilité / limite
ok donc :
a) je trouve [tex](q(f(b)-f(a))*(p(f(a)-f(b))/(p+q)²[/tex]. OK pour le dénominateur mais je ne vois pas en quoi le numérateur est négatif. Peut être faut il supposer que a est négatif et b positifmais je ne vois pas ...
#4 01-01-2015 13:55:09
- freddy
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Re : Continuité / dérivabilité / limite
ok donc :
a) je trouve [tex](q(f(b)-f(a))*(p(f(a)-f(b))/(p+q)^2 [/tex].
OK pour le dénominateur mais je ne vois pas en quoi le numérateur est négatif. Peut être faut il supposer que a est négatif et b positif mais je ne vois pas ...
Regarde :
[tex]\frac{q(f(b)-f(a))\times p(f(a)-f(b))}{(p+q)^2}= -pq \left(\frac {f(b)-f(a)}{p+q}\right)^2 [/tex] du signe de [tex]-pq[/tex]
Hors ligne
#5 01-01-2015 14:05:14
- Blis3
- Invité
Re : Continuité / dérivabilité / limite
ok donc oui c'est bien négatif !
pour la b), comment montrer que f(b) et f(a) sont les extrémités de l'intervalle ? je ne pense pas qu'il faille utiliser ici le théorème des accroissements finis pourtant
#6 01-01-2015 14:23:30
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Continuité / dérivabilité / limite
Re,
puisque p et q sont deux réels positifs, avec un des deux non nul, alors [tex]M =\frac {p(f(a)+qf(b)}{p+q}[/tex] est la moyenne pondérée de [tex]f(a)[/tex] et [tex]f(b)[/tex].
On vient de montrer que [tex](M-f(a))\times (M-f(b)) \le 0[/tex] ce qui signifie que :
soit [tex]M \le f(a) [/tex] et [tex]M \ge f(b)[/tex]
ou [tex]M \ge f(a) [/tex] et [tex]M \le f(b)[/tex]
Je te laisse conclure !
Hors ligne
#7 01-01-2015 14:32:28
- Blis3
- Invité
Re : Continuité / dérivabilité / limite
donc ici dans tous les cas, M est appartient à [f(a),f(b)] ou [f(b),f(a)]
#9 01-01-2015 14:55:58
- Blis3
- Invité
Re : Continuité / dérivabilité / limite
ok merci! et donc pour la dernière dois je utiliser le théorème des accroissements finis?