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htina

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question

Bonjour,
[tex]\Omega[/tex] est la réunion de [tex]\Omega_1[/tex] et [tex]\Omega_2[/tex] plus une interface entre les deux sous-domaine, et la frontière
soit [tex]U[/tex] est une équation définie de [tex]L^2(\Omega)[/tex] dans[tex] L^2(\Omega)[/tex], par:
[tex]U(u)
=
\begin{cases}
u \quad \mbox{dans } \Omega_1\\
C^{-1}(u) \quad \mbox{dans } \Omega_2
\end{cases}[/tex]
continue dans[tex] L^2(\Omega)[/tex], avec C une fonction régulière positive et croissante, telle que [tex]C(0)=0[/tex], et [tex]C(1)=0[/tex].

On considère l'application [tex]F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n[/tex] définie par
[tex]\{\eta_j\}_{1 \leq j \leq n} \to u= \sum \eta_j \psi_j \to \{(U(u),\psi_k\)_{L^2(\Omega)}\}_{1 \leq k \leq n}[/tex]

Ma question est: comment expliquer ceci:
par la positivité de C, on a:
[tex](F(\eta')-F(\eta'')).(\eta-\eta'') = (U(u')-U(u''),u'-u'') \geq \alpha ||u'-u''||^2_{L^2(\Omega)} \geq C |\eta - \eta''|^2[/tex]
où \alpha est une constante, et la dernière inégalité est dûe au fait que C est une fonction positive et décroissante.

Je ne comprend pas la dérinère ligne avec une égalité et deux inégalités, ni les arguments utilisés pour les démontrer. Merci de m'aider.

Dernière modification par htina (20-12-2014 13:49:40)