Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Legendre

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Suite de fonction

Salut,

Encore et toujours sur un problème :

On pose [tex]u_{n}=\int_0^{1}\,\frac{1}{(1+t^4)^n}\,dt[/tex]. Calculer [tex]u_{1}[/tex]. Limite de [tex]u_{n}[/tex]. Montrer que la série [tex]\sum _{n>0}\frac{u_{n}}{n}[/tex] converge et préciser sa somme. Montrer que la série [tex]\sum _{n>0}u_{n}[/tex] diverge et trouver un équivalent de [tex] \sum_{k=1}^n u_{k}[/tex].

Pour le calcul de [tex]u_{1}[/tex] et la limite de [tex]u_{n}[/tex] pas de soucis, c'est pour les deux autres questions que je bloque, notamment la dernière question où j'arrive à [tex]\sum_{k=1}^n u_{k}=\int_0^{1}\,\frac{(1+t^4)^n-1}{t^4(1+t^4)^n}\,dt[/tex]

Merci de votre aide !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Suite de fonction

Salut,

  Bon, cela a l'air encore assez difficile, mais en tout cas moi je ne m'y prendrais pas comme cela.
J'essaierai d'obtenir un équivalent de [tex]u_n[/tex] puis d'appliquer le résultat sur la sommation des équivalents.
Déjà, pour démontrer que la série diverge, tu peux assez facilement minorer :
[tex]\frac{1}{(1+t^4)^n}\geq \frac{1}{(1+t)^n},\ t\in [0,1] [/tex]
puis tu intègres cette inégalité.

En coupant l'intégrale en [tex]1/n[/tex], ou en [tex]1/n^{1/4}[/tex], je suis aussi à peu près convaincu qu'on doit pouvoir trouver une majoration de la suite pour démontrer que [tex]\sum_n u_n/n[/tex] converge.
Pour avoir un équivalent, c'est plus dur... Peut-être en faisant le changement de variable [tex]x=t^4[/tex] puis en découpant l'intégrale autour de [tex]1/n^{1/4}[/tex].

F.