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htina

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dérivée dans D'

Bonsoir,
comment calculer la dérivée de [tex]T_1=|x|[/tex]?
[tex]|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R}),[/tex] donc pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}),[/tex]
[tex]
\langle T_1,\varphi\rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \varphi(x) dx
[/tex]
Comment écrire [tex]T'_1[/tex]?
Merci beaucoup.

Dernière modification par htina (11-12-2014 17:38:30)

Fred

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Re : dérivée dans D'

D'abord, appliquer la formule.
[tex]\langle T_1',\varphi\rangle=-\langle T_1,\varphi'\rangle=-\int_{\mathbb R}|x|\varphi'(x)dx[/tex].
Ensuite, je coupe l'intégrale en deux : sur [tex] ]-\infty,0] [/tex] et sur [tex] [0,+\infty[ [/tex]. Sur chaque intervalle, je fais une intégration par parties.

F.

htina

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Re : dérivée dans D'

et pour la distribution [tex]T_2=sgn(x)[/tex], comment on montre qu'elle est [tex]L^1_loc[/tex], et comment calculer sa dérivée?
Merci beaucoup.

Fred

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Re : dérivée dans D'

Elle est [tex]L^1_{loc}[/tex] car elle est bornée. On calcule sa dérivée exactement de la même façon que pour la valeur absolue.

F.

htina

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Re : dérivée dans D'

Pour le calcul de la dérivée de [tex]T_1=|x|.[/tex]
Tout d'abord, [tex]|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})[/tex], car c'est une fonction continue sur [tex]\mathbb{R}.[/tex] Ainsi,  pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], [tex]\langle T_1,\varphi \rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |x| \varphi(x) dx=- \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{0}^{+\infty} x \varphi(x) dx. [/tex]
En utilisant l'intégration par parties sur [tex]I_2 = \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx[/tex], on obtient que
[tex]I_2= - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi(x) dx[/tex]
et si on applique encore une fois, l'intégration par parties, on trouve 0. Que faire?
Merci beaucoup.

Dernière modification par htina (12-12-2014 11:14:14)

Fred

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Re : dérivée dans D'

et si on applique encore une fois, l'intégration par parties, on trouve 0.

Je ne suis pas d'accord.

Que faire?
Merci beaucoup.

Tu fais aussi l'intégration par parties sur [tex]I_1[/tex], tu fais la somme des deux, et tu verras que ta distribution est un certain [tex]T_f[/tex].

htina

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Re : dérivée dans D'

[tex]
\displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \varphi(x) dx = - \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx = 2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx.
[/tex]
Par intégration par parties, on a:
[tex]
\displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx = [\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_0^{+\infty} + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi'(x) dx.
[/tex]
Le calcul de [tex]\displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi'(x) dx[/tex], par intégration par parties, nous donne:
[tex]
\displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi'(x) dx = [x^2 \varphi(x)]_0^{+\infty} - 2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx.
[/tex]
Ainsi,
[tex]
2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx = 2([\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_0^{+\infty} + \dfrac{1}{2} [x^2 \varphi(x)]_0^{+\infty} - \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx) = -2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx
[/tex]
là je ne comprend plus, ca donne 0.

Fred

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Re : dérivée dans D'

[tex]
\displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \varphi(x) dx = - \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx = 2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx.
[/tex]

Je ne suis pas d'accord avec cette dernière égalité, on ne sait rien de la parité de [tex]\varphi[/tex].

Contente-toi de ce que tu as fait au post 5 avec I2, fais la même chose avec I1, et ajoute les deux!

htina

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Re : dérivée dans D'

[tex]
I= \displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \varphi(x) dx = - \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx.
[/tex]
En utilisant l'intégration par parties, on obtient:
[tex]
I= -[\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_{-\infty}^0 + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{-\infty}^0 x^2 \varphi'(x) dx +
[\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_0^{+\infty} - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi'(x) dx.
[/tex]
Ainsi, puisque [tex]  -[\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_{-\infty}^0=0 [/tex], et [tex]  [\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_0^{+\infty}=0,    [/tex] on a:
[tex]
I= I= + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{-\infty}^0 x^2 \varphi'(x) dx
- \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi'(x) dx
[/tex]

Fred

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Re : dérivée dans D'

Tu as oublié de dériver [tex]\varphi[/tex] dès le départ! Et tu dois faire l'intégration par parties dans l'autre sens, en intégrant [tex]\varphi'[/tex].

htina

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Re : dérivée dans D'

Je ne comprend pas. En fait, ce qu'on doit calculer, c'est [tex]- \displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \varphi'(x) dx[/tex]. C'est ca?

Fred

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Re : dérivée dans D'

Oui, c'est cela, mais ce n'est pas ce que tu as fait au post 9.
Et tu le calcules comme je te l'ai dit en coupant l'intégrale en deux et en faisant une intégration par parties.

htina

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Re : dérivée dans D'

Ok, alors soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]\langle T'_1,\varphi \rangle = - \langle T_1, \varphi'(x) \rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi'(x) dx - \displaystyle \int_0^{+\infty} c \varphi'(x) dx.[/tex]
En utilisant l'intégration par parties, on obtient que:
[tex]\langle T'_1,\varphi\rangle = - \displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi (x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi(x) dx[/tex]
on peut dire que c'est égale à[tex] -2 \displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi(x) dx[/tex]
c'est qui [tex]T'_1[/tex] dans ce cas?

Dernière modification par htina (13-12-2014 13:40:05)

Fred

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Re : dérivée dans D'

Ok, alors soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]\langle T'_1,\varphi \rangle = - \langle T_1, \varphi'(x) \rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi'(x) dx - \displaystyle \int_0^{+\infty} c \varphi'(x) dx.[/tex]
En utilisant l'intégration par parties, on obtient que:
[tex]\langle T'_1,\varphi\rangle = - \displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi (x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi(x) dx[/tex]

on peut dire que c'est égale à[tex] -2 \displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi(x) dx[/tex]

Non!!!!! Tu ne sais rien sur la parité de [tex]\varphi[/tex]!!!

c'est qui [tex]T'_1[/tex] dans ce cas?

Pour quelle fonction [tex]u[/tex] a-t-on que la dérivée associée à [tex]u[/tex], que je note [tex]T_u[/tex], vérifie

[tex]\langle T_u,\varphi\rangle=-\int_{-\infty}^0 \varphi(x)dx+\int_0^{+\infty}\varphi(x)dx???[/tex]

htina

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Re : dérivée dans D'

[tex]
u(x)
=
\begin{cases}
-1 & \mbox{sur } ]-\infty,0[\\
1 & \mbox{sur } ]0,+\infty[
\end{cases}
[/tex]
c'est celle là? et en 0, on ne sait rien.

Fred

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Re : dérivée dans D'

Oui, c'est celle-là. Et en 0, elle prend la valeur que tu veux, cela n'a pas d'importance.