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htina

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limite dans D'

Bonjour,
Je cherche à calculer
1- [tex]
\lim_{n \to +\infty} n (\delta_{1/n} - \delta_{-1/n})
[/tex]

2- [tex]
\lim_{n \to + \infty} n^2(\delta_{1/n} \delta_{-1/n} - 2 \delta_0)
[/tex]

pour la 1-, on prend \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}, et on a
[tex]
\lim_{n \to +\infty} n (\delta_{1/n} - \delta_{-1/n})= \lim_{n \to +\infty} n (\varphi(\dfrac{1}{n}) - \varphi(\dfrac{-1}{n}))
[/tex]
mais je ne vois pas comment finir, et pour la 2-, je n'ai pas d'idée.
Merci beaucoup.

Fred

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Re : limite dans D'

Salut,

  Fais un développement limité de [tex]\varphi[/tex] en 0.
Pour le 2-, pareil.

F.

htina

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Re : limite dans D'

Bon, voici ce que j'ai fait.
1- pour le calcul de
[tex]
\lim_{n \to +\infty} n (\delta_{1/n} - \delta_{-1/n})
[/tex]
Par un développement limité d'ordre 1 de Taylor-Lagrange, on a:
[tex]

\varphi(1/n) - \varphi(-1/n)=\dfrac{2}{n} \varphi'(0) + \dfrac{1}{n^2} [\varphi''(\xi_n) + \varphi''(\xi_{-n})[/tex]
On a:
[tex]
\dfrac{1}{n} [\varphi''(\xi_n) + \varphi''(\xi_n)] \leq \dfrac{1}{n} \sup_x |\varphi''(x)|
[/tex]
et le terme de droite de cette dérnière inégalité, tend vers 0.
Ainsi, la limite qu'on cherche vaut [tex]-2 \varphi'(0)=- 2 \delta'.[/tex]

2- Calculer
[tex]
\lim_{n \to +\infty} n^2(\delta_{1/n} \delta_{-1/n} - 2 \delta_0).
[/tex]
Là, je ne sais pas trop comment écire
[tex]
\delta_{1/n} \delta_{-1/n}
[/tex]

3- Calculer
[tex]
\lim_{n \to +\infty} n^3(\delta_{1/n} - \delta_{-1/n} - \dfrac{2}{n} \delta'_0)
[/tex]
En faisant un développement limité de Taylor Lagrange d'ordre 3, on obtient que pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}[/tex], on a:
[tex]
\langle \delta_{1/n} - \delta_{-1/n} - \dfrac{2}{n} \delta'_0,\varphi \rangle = \dfrac{2}{n} \varphi'(0) + \dfrac{1}{n^3} [\varphi'''(\xi_n) - \varphi'''(\xi_{-n})] - \dfrac{2}{n} \varphi'(0)
[/tex]
On sait que
[tex]
|\varphi'''(\xi_n) - \varphi'''(\xi_{-n}| \leq \sup_x \varphi'''(x)
[/tex],
mais celà ne nous aide pas à trouver la limite. Que faire?

4- Calculer
[tex]
\lim_{n \to +\infty} (\delta_0 - \dfrac{1}{n} \delta_{1/n})''.
[/tex]
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]
\langle (\delta_0 - \dfrac{1}{n} \delta_{1/n})'', \varphi \rangle = \langle \delta_0 - \dfrac{1}{n} \delta_{1/n}, \varphi'' \rangle
[/tex]
[tex]
= \varphi''(0) - \dfrac{1}{n} \varphi''(\dfrac{1}{n} = \psi(0) - \dfrac{1}{n} \psi(\dfrac{1}{n}),
[/tex]
où on a noté [tex]\varphi''[/tex] par[tex] \psi[/tex].
mais après, en essayant les accroissements finis, ca ne donne rien.

Merci beaucoup.

Fred

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Re : limite dans D'

Bon, voici ce que j'ai fait.
1- pour le calcul de
[tex]
\lim_{n \to +\infty} n (\delta_{1/n} - \delta_{-1/n})
[/tex]
Par un développement limité d'ordre 1 de Taylor-Lagrange, on a:
[tex]

\varphi(1/n) - \varphi(-1/n)=\dfrac{2}{n} \varphi'(0) + \dfrac{1}{n^2} [\varphi''(\xi_n) + \varphi''(\xi_{-n})[/tex]
On a:
[tex]
\dfrac{1}{n} [\varphi''(\xi_n) + \varphi''(\xi_n)] \leq \dfrac{1}{n} \sup_x |\varphi''(x)|
[/tex]
et le terme de droite de cette dérnière inégalité, tend vers 0.
Ainsi, la limite qu'on cherche vaut [tex]-2 \varphi'(0)=- 2 \delta'.[/tex]

Ok.

2- Calculer
[tex]
\lim_{n \to +\infty} n^2(\delta_{1/n} \delta_{-1/n} - 2 \delta_0).
[/tex]
Là, je ne sais pas trop comment écire
[tex]
\delta_{1/n} \delta_{-1/n}
[/tex]

Je pense qu'il y a une erreur d'énoncé et qu'il manque un symbole - ou + entre les deux masses de Dirac.

3- Calculer
[tex]
\lim_{n \to +\infty} n^3(\delta_{1/n} - \delta_{-1/n} - \dfrac{2}{n} \delta'_0)
[/tex]
En faisant un développement limité de Taylor Lagrange d'ordre 3, on obtient que pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}[/tex], on a:
[tex]
\langle \delta_{1/n} - \delta_{-1/n} - \dfrac{2}{n} \delta'_0,\varphi \rangle = \dfrac{2}{n} \varphi'(0) + \dfrac{1}{n^3} [\varphi'''(\xi_n) - \varphi'''(\xi_{-n})] - \dfrac{2}{n} \varphi'(0)
[/tex]
On sait que
[tex]
|\varphi'''(\xi_n) - \varphi'''(\xi_{-n}| \leq \sup_x \varphi'''(x)
[/tex],
mais celà ne nous aide pas à trouver la limite. Que faire?

C'est que l'ordre du développement n'est pas assez grand. Pousse jusqu'à l'ordre 4.

4- Calculer
[tex]
\lim_{n \to +\infty} (\delta_0 - \dfrac{1}{n} \delta_{1/n})''.
[/tex]
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]
\langle (\delta_0 - \dfrac{1}{n} \delta_{1/n})'', \varphi \rangle = \langle \delta_0 - \dfrac{1}{n} \delta_{1/n}, \varphi'' \rangle
[/tex]
[tex]
= \varphi''(0) - \dfrac{1}{n} \varphi''(\dfrac{1}{n} = \psi(0) - \dfrac{1}{n} \psi(\dfrac{1}{n}),
[/tex]
où on a noté [tex]\varphi''[/tex] par[tex] \psi[/tex].
mais après, en essayant les accroissements finis, ca ne donne rien.

Merci beaucoup.

Tout simplement, [tex]\frac 1n\psi(1/n)[/tex] tend vers 0, non???
Mais j'aurais bien vu [tex](\delta_0-n\delta_{1/n})''[/tex] plutôt...

htina

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Re : limite dans D'

Pour ma 2), [tex]\delta_{1/n} \delta_{-1/n}[/tex] n'existe pas? ([tex]\delta_a \delta_b[/tex] n'est pas identique à [tex]\delta_{a+b}[/tex]?

Pour la 4), je ne comprend pas la déduction que [tex]\dfrac{1}{n} \psi(\dfrac{1}{n})[/tex] tend vers 0,
aussi, pourquoi vous voyez plutôt n à la place de 1/n?
Merci beaucoup.

Fred

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Re : limite dans D'

Je ne sais pas ce qu'est [tex]\delta_a\delta_b[/tex]....

[tex]\psi(1/n)[/tex] tend vers [tex]\psi(0)[/tex] non, si [tex]n\to+\infty[/tex].

J'imaginais plutôt [tex]n\psi(1/n)[/tex] parce que la limite est moins triviale à obtenir...
mais j'ai peut-être tort!

F.

htina

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Re : limite dans D'

Pour le calcul de
[tex]
\lim_{n \to + \infty} (\delta_0 - n \delta_{1/n})''.
[/tex]
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]
\langle (\delta_0 - n \delta_{1/n})'',\varphi \rangle = \langle \delta_0 - n \delta_{1/n} , \varphi'' \rangle = \psi(0) - n \psi(1/n)
[/tex]
en notant [tex]\psi = \varphi''[/tex].
En faisant un developpement de Taylor-Lagrange d'ordre 1, on obtient:
[tex]
\psi(0)-n \psi(\dfrac{1}{n})= \psi(0) - n \psi(0) - \psi'(\xi_n), \quad \xi_n \in (0,n)
[/tex]
Bien sur, ca ne donne rien. Qu'est ce qu'on utilise ici?
Merci beaucoup.

Fred

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Re : limite dans D'

Tu as raison, cela ne donne rien, j'avais tort!
Et tu as terminé pour les autres cas???

htina

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Re : limite dans D'

Pour le calcul de
[tex]
\lim_{n \to +\infty} n^2(\delta_{1/n} + \delta_{-1/n} - 2 \delta_0).
[/tex]
Soit [tex]\varphi \in\mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex] On a:
[tex]
\langle \delta_{1/n} + \delta_{-1/n} - 2 \delta_0,\varphi\rangle = \langle \delta_{1/n},\varphi \rangle + \langle \delta_{-1/n},\varphi\rangle - 2 \langle \delta_0,\varphi \rangle = \varphi(1/n) + \varphi(-1/n) - 2 \varphi(0).
[/tex]
En écrivant le développement de Taylor-Lagrange d'ordre 1, pour [tex]\varphi(1/n)[/tex] et [tex]\varphi(-1/n)[/tex], au voisonage de 0, on a:
[tex]\varphi(1/n) = \varphi(0) + 1/n \varphi'(\xi_{1/n}), \quad \xi_{1/n} \in (0,1/n)[/tex],
et
[tex]\varphi(-1/n) = \varphi(0) - 1/n \varphi'(\xi_{-1/n}), \quad \xi_{-1/n}) \in ]-1/n,0[.[/tex]
Ainsi,
[tex]\langle \delta_{1/n} + \delta_{-1/n} - 2 \delta_0,\varphi \rangle = \dfrac{1}{n} [\varphi'(\xi_{1/n}) - \varphi'(\xi_{-1/n})[/tex].
On a:
[tex]|\varphi'(\xi_{1/n}) - \varphi'(\xi_{-1/n})| \leq |\varphi'(\xi_{1/n}) + \varphi'(\xi_{-1/n})| \leq |\sup_{x \in K} \varphi'(x) + \sup_{x \in K} \varphi'(x)| \leq 2 \sup_{x\in K} |\varphi'(x)|[/tex]
où
[tex]supp \varphi[/tex] est inclus dans K; qui est compacte.
Ainsi, on peut majorer [tex]|\langle \delta_{1/n} + \delta_{-1/n} - 2 \delta_0,\varphi \rangle|[/tex] par [tex]\dfrac{M}{n}[/tex] qui tend vers 0, et par conséquent, lab limite est 0.

2- Calculer [tex]\lim_{n \to +\infty} n^3(\delta_{1/n} - \delta_{-1/n} - \dfrac{2}{n} \delta'_0).[/tex]
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}[/tex]. On a:
[tex]\langle n^3(\delta_{1/n} - \delta_{-1/n} - \dfrac{2}{n} \delta'_0,\varphi \rangle = n^3 \varphi(\dfrac{1}{n}) - n^3 \varphi(-\dfrac{1}{n}) + \dfrac{2}{n} \varphi'(0).[/tex]
En faisant le développement de Taylor-Lagrange d'ordre 4 pour [tex]\varphi(1/n)[/tex] et [tex]\varphi(-1/n)[/tex], on obtient:
[tex]
varphi(1/n)=\varphi(0) + \dfrac{1}{n} \varphi'(0) + \dfrac{1}{n^2} \varphi''(0) + \dfrac{1}{n^3} \varphi^{(3)}(0) + \dfrac{1}{n^4} \varphi^{(4)}(\xi_{1/n})
[/tex]
et
[tex]
\varphi(-1/n)=\varphi(0) - \dfrac{1}{n} \varphi'(0) + \dfrac{1}{n^2} \varphi''(0) - \dfrac{1}{n^3} \varphi^{(3)}(0) + \dfrac{1}{n^4} \varphi(\xi_{-1/n})
[/tex]
Ainsi,
[tex]n^3 \langle \delta_{1/n} - \delta_{-1/n} - \dfrac{2}{n} \delta'_0,\varphi \rangle = \dfrac{2}{n^3} \varphi^{(3)}(0) + \dfrac{1}{n^4} [\varphi^{4)}(\xi_{1/n}) - \varphi^{(4)}(\xi_{-1/n})][/tex]
qui tend vers 0, la limite vaut donc 0.

Est- ce que vous avez une remarque? svp.
Merci beaucoup.

Dernière modification par htina (12-12-2014 00:40:58)

Fred

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Re : limite dans D'

A chaque fois, tu as oublié de multiplier par [tex]n^2[/tex] ou [tex]n^3[/tex] à la fin il me semble...