Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Gimlhi

Membre

Inscription : 09-12-2014

Messages : 17

Aide pour un dm, question de méthode

Bonjour, je suis nouveau sur le forum, j'espère que vous pourrez m'aider dans les problèmes que je rencontre.
dm: http://www.fichier-pdf.fr/2014/12/09/dm … -lineaire/

Tout d'abord l'exo 1:
a) Alors j'ai un problème de méthode pour trouver les bases et les dimensions, mais ici je pense que dim Rn[X]=n+1 (car on compte le polynôme nul) et donc la base B(Rn[X]) = {P0,P1,..,Pn}. Pour la dimension ici je pense avoir bon mais pour la base je ne suis pas sur.

b) J'ai montré que U2 était un sev, mais encore une fois j'ai un problème avec la base et la dim de U2.
Pour la base j'aurai dis B = {P0,P1,P2} et dim = 2, mais voila je ne sais pas comment faire pour trouver une base et determiner la dim

c) J'ai montrer que c'était un sev de Rn[X], j'ai montrer que si on note V= Un avec n=2 on retrouve U2, mais même problème q'avant pour les base et sa dim.

d) Alors je sais que un supplémentaire donne; B(W) ⊕ B(V) = Rn[X], avec B(W) à trouver et qui est supplémentaire, mais quel est la méthode pour le trouver ? dim B(W) = dim Rn[X] - dim B(V) ?? Comment faire svp
Et puis que veut dire déterminé ?

Si quelqu'un pourrait m'expliquer la démarche a suivre pour trouver les bases et la dim des bases, sa ferait tout mon plaisir.

Merci.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Aide pour un dm, question de méthode

Bonjour,

  Procédons dans l'ordre.

1) Tu as raison pour la dimension, mais tu ne nous dis pas ce que sont P0,P1,... De quels polynômes s'agit-il?

2) La question est [tex]U_2=\{P\in\mathbb R_2[X], P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2,\ a_0+a_1+a_2=0\}[/tex], trouver une base et la dimension.
Pour trouver une base, il faut commencer par trouver une famille génératrice de U2. Prenons [tex]P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2[/tex] un élément de [tex]\mathbb R_2[X] [/tex]. Il est dans U2 si et seulement si [tex]a_0+a_1+a_2=0[/tex]. Ceci peut s'écrire encore sous la forme
[tex]a_0=-a_1-a_2[/tex], et on n'a pas d'autres conditions supplémentaires.
Autrement dit, pour écrire ton polynôme, tu n'as pas besoin de [tex]a_0[/tex], et ton polynôme s'écrit
[tex]P(X)=-a_1-a_2+a_1X+a_2X^2=a_1(X-1)+a_2(X^2-1)[/tex]
Autrement dit, tout polynôme de U2 s'écrit comme combinaison linéaire des polynomes [tex]X-1[/tex] et [tex]X^2-1[/tex]. Tu viens donc de démontrer que la famille [tex](X-1,X^2-1)[/tex] est une famille génératrice de U2. Comme c'est de plus une famille libre, c'est une base de U2. Cette base comporte deux éléments, donc U2 est de dimension 2.

Cela devrait t'aider pour faire la question 3.
Pour la question 4), je ne pourrais t'aider que lorsque tu auras fait la question 3. La question "Est-il uniquement déterminé" signifie : existe-t-il un seul supplémentaire à V???

F.

Gimlhi

Membre

Inscription : 09-12-2014

Messages : 17

Re : Aide pour un dm, question de méthode

Bonsoir, merci de ta réponse. Désoler de pas répondre de suite, mais la semaine était chargé.

a) le polynome est: P(X) = a0 + a1X + a2X² + ... + anX^n

b) Merci de ton explication

c) V = Un = { P ∈ Rn[X] | P(X) = a0 + a1X + a2X² + ... + anX^n, P(1) = 0 => P(1) = a0 + a1 + ... + an = 0 }
Autrement dit pour X = 1, ya plus que le polynôme nul ??, donc pour la base est (Polynôme nul = 0) ? Et dim = 0 ?

"Quand je fait avec la méthode de la b, on a que P(X) = a1(X - 1) + ... + an(X^n - 1), mais vu que V a pour condition X = 1, on a que
P(1) = a1(0) + ... + an(0) = 0, donc on retrouve le Polynôme nul après tout les facteurs, donc c'est une base ??"

Merci de l'aide

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Aide pour un dm, question de méthode

Cela veut dire quoi que "V a la condition X=1"???
V est l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n qui s'annule en 1. Par exemple,  X-1,X^2-1,X^2+X-2 sont des éléments de V. Je ne comprends vraiment pas ce que tu veux dire par "V a la condition X=1".
Sinon, tu es bien parti en appliquant la méthode de b, tu vas bientôt trouver une base...

Gimlhi

Membre

Inscription : 09-12-2014

Messages : 17

Re : Aide pour un dm, question de méthode

Bas dans mon esprit sa se lisait comme sa, mais quand tu ma écrit "V est l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n qui s'annule en 1" j'ai compris que j'avais dit des bêtises ^^.

Donc j'ai: X-1, X^2-1, X^2+X-2, ..., X^n - 1, donc on peut écrire V avec des combinaisons linéaires des polynômes précédents, donc c'est une familles génératrice, mais sa fait beaucoup de vecteur, comment dois je faire le tri ?

Merci

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Aide pour un dm, question de méthode

J'ai mis X^2+X-2 pour ne pas donner l'impression qu'il n'y avait que des polynômes du type X-1, X^2-1, etc... dans V, mais revenons à ton écriture. Tu as écrit que tout polynôme de V s'écrit
[tex]P(X)=a_1(X-1)+a_2(X^2-1)+\dots+a_n(X^n-1)[/tex]
Ceci signifie que la famille [tex]\big ((X-1),(X^2-1),\dots,(X^n-1)\big)[/tex] est une famille génératrice de V. Il suffit maintenant de démontrer que c'est une famille libre. Pour cela, supposons que
[tex]a_1(X-1)+a_2(X^2-1)+\dots+a_n(X^n-1)=0[/tex] et prouvons que [tex]a_1=a_2=\dots=a_n=0[/tex]. Ce n'est pas dur! Commence par prouver que [tex]a_n=0[/tex].

Gimlhi

Membre

Inscription : 09-12-2014

Messages : 17

Re : Aide pour un dm, question de méthode

Sa je sais faire, montrer que c'est libre. Je l'ai fait sur une feuille c'est pas long mais a écrire au clavier sa l'est (P+P' ∈ Rn[X] et (lambda)P ∈ Rn[X]).
Donc j'ai montrer que c'était libre et que donc ((X−1),(X2−1),…,(Xn−1))  était un base. (ya pas moyen de réduire les éléments ?)
Et du coup on a dim V = n ?

4) ici je sais que Rn[X]= B(V) + B(W) (somme direct)
Où B(W) est la base supplémentaire à B(V) a trouver. B(W) = Rn[X] - B(V)
Après je sais pas trop comment le calculer, j'ai les dimensions de Rn[X] et B(V), les bases, mais je sais pas trop comment les utiliser.

Merci de ton aide ^^

Dernière modification par Gimlhi (14-12-2014 22:28:18)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Aide pour un dm, question de méthode

Sa je sais faire, montrer que c'est libre. Je l'ai fait sur une feuille c'est pas long mais a écrire au clavier sa l'est (P+P' ∈ Rn[X] et (lambda)P ∈ Rn[X]).

Je ne comprends pas ce que tu as voulu écrire à la fin de ta ligne, mais bon....

Donc j'ai montrer que c'était libre et que donc ((X−1),(X2−1),…,(Xn−1))  était un base. (ya pas moyen de réduire les éléments ?)
Et du coup on a dim V = n ?

Ben non, si on a prouvé que c'est une base, on ne peut pas enlever d'éléments, et la dimension est effectivement n.

4) ici je sais que Rn[X]= B(V) + B(W) (somme direct)
Où B(W) est la base supplémentaire à B(V) a trouver. B(W) = Rn[X] - B(V)
Après je sais pas trop comment le calculer, j'ai les dimensions de Rn[X] et B(V), les bases, mais je sais pas trop comment les utiliser.

Merci de ton aide

Attention! On ne peut pas dire que Rn[X] est somme directe de deux bases!!!
On cherche W un supplémentaire de V, et on peut effectivement le déterminer en disant qu'une base de Rn[X] peut être obtenue en prenant tous les éléments d'une base de V et tous les éléments d'une base de W.

Ici, il faut deviner quel va être le supplémentaire. Ce n'est pas trop dur, car ton sous-espace est de dimension n, soit juste un de moins que la dimension de Rn[X] (on dit que V est un hyperplan). Il suffit de considérer n'importe quel polynôme qui n'est pas dans V, et de considérer l'espace vectoriel engendré par ce polynôme.

Je vais juste te donner un conseil. A te lire, j'ai bien l'impression que ton cours sur les espaces vectoriels n'est pas bien assimilé et que tu mélanges un peu toutes les notions. Plus que pour n'importe quel autre cours, tu dois absolument lire très attentivement ton cours, le comprendre et comprendre les exemples simples qui s'y trouvent. Cette notion est un degré supplémentaire dans l'abstraction par rapport à ce que tu faisait en Terminale, et il faut vraiment passer du temps à bien en comprendre les bases.

F.

Gimlhi

Membre

Inscription : 09-12-2014

Messages : 17

Re : Aide pour un dm, question de méthode

A bas donc B(W) = {X^(n+1) - 1} ???
On doit pas verifier avec les bases: dim Rn[X] = dim V + dim W = n + 1 ?

Merci de ton aide, en tout cas, je relis très souvent mon cours mais cela reste toujours très abstrait pour moi en tout cas. Mais je fais de mon mieux pour comprendre.

Et que veut dire uniquement déterminé, est ce le seul ?? Si oui j'aurai tendance a dire oui.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Aide pour un dm, question de méthode

Cela ne peut pas marcher, car [tex]X^{n+1}-1[/tex] n'est pas un polynôme de [tex]\mathbb R_n[X][/tex] puisqu'il est de degré n+1.

Mais tu peux prendre n'importe quel polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que P(1)=0.
Si tu en trouves deux qui ne sont pas colinéaires, tu auras deux supplémentaires différents.

F.

Gimlhi

Membre

Inscription : 09-12-2014

Messages : 17

Re : Aide pour un dm, question de méthode

Bonjour, merci de ton aide. J'aurais besoin de revoir comment on fait pour montrer que:
P(X)=a1(X−1)+a2(X^2−1)+⋯+an(X^n−1)  est libre.
On suppose que a1(X−1)+a2(X^2−1)+⋯+an(X^n−1)=0 (où 0 est le polynôme nul) et on montre que a1=a2=⋯=an=0

J'y arrive sans problème quand on fait avec des vecteur mais les polynôme me pose problème. Le peu d'exemple que j'ai fait en exercices passe par des matrices dans les quelles j'ai pas tout pigé. En gros dans les exemples que j'ai fait on doit trouver une matrice qui à
rang M = dim M = card M => libre.

On as P = a1(X−1)+a2(X^2−1)+⋯+an(X^n−1)
En prend P1=X-1, P2=X^2-1,..,Pn=X^n−1 et on place les polynômes dans une matrice M = (P1,P2,...,Pn) et on est sensé trouver une matrice triangulaire sup carrée qui a donc rang M = dim M = card M donc libre.
Ici j'ai pas trop compris comme placer P1=X-1, P2=X^2-1,..,Pn=X^n−1 dans des matrices.

Mes questions, existe t'il d'autre moyen de montrer que c'est libre sans passer par des matrices ??
tu m'as dit plus haut:

[tex]a_1(X-1)+a_2(X^2-1)+\dots+a_n(X^n-1)=0[/tex] et prouvons que [tex]a_1=a_2=\dots=a_n=0[/tex]. Ce n'est pas dur! Commence par prouver que [tex]a_n=0[/tex].

J'ai chercher des systèmes a résoudre, mais en vain.
Et peut tu m'expliquer comment faire avec les matrices ?

Merci de ton aides et bonne fêtes a tous.

Edit: Avec les matrice en gros on trouve, V = vect {X-1, X^2-1,..,X^n-1} donc c'est un système échelonné de n vecteur donc il est libre. On les place dans des matrice pour voir que c'est échelonné ?
Edit 2 : J'ai trouver comment les placer dans des matrices, sur la page 2 du corrigé: http://www.fichier-pdf.fr/2014/12/26/co … ew/page/2/
Maintenant si tu peut me montrer comment faire sans matrice sa serait sympa !

Dernière modification par Gimlhi (26-12-2014 14:43:15)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Aide pour un dm, question de méthode

Il suffit de raisonner sur le degré du polynôme. Si [tex]a_n\neq 0[/tex], alors le polynôme
[tex]a_1(X-1)+\dots+a_n(X^n-1)[/tex] serait de degré n, ce qui contredirait qu'il s'agit du polynôme nul.

F.