Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 09-12-2014 17:56:27
- Legendre
- Membre
- Inscription : 02-07-2014
- Messages : 72
Suite de fonction
Salut,
Soit [tex]I_{n}=\int_0^{+\infty}\,1-(1-e^{-t})^n\,dt[/tex], existence de [tex]I_{n}[/tex], puis montrer que [tex]I_{n} \sim ln(n)[/tex]
Soit [tex]f_{n}(x)=cos{(\frac{x}{\sqrt{n}})}^n[/tex], convergence simple de [tex](f_{n})[/tex] puis convergence uniforme sur tout segment de la forme [tex][-a,a][/tex] où [tex]a \in \mathbb{R}^+[/tex]
Alors pour le premier exercice, l'existence ne pose pas de soucis par contre pour l'équivalent j'ai essayé plusieurs changement de variable puis essayé d'appliquer le théorème de convergence dominée, sans résultat... Pour le deuxième je trouve une convergence simple vers la fonction [tex]x\mapsto e^{\frac{-x^2}{2}}[/tex], pour la convergence uniforme, il suffit de l'étudier sur [tex][0,a][/tex] comme la fonction est paire, mais je n'arrive pas à majorer de manière assez fine...
Un petit coup de main ? Merci !
Dernière modification par Legendre (09-12-2014 19:19:07)
Hors ligne
#2 09-12-2014 18:51:44
Re : Suite de fonction
Bonjour,
Pour le premier exercice, après les changements de variable [tex]u=e^{-t}[/tex] puis [tex]v = 1-u[/tex] j'obtiens [tex]I_n=\int_0^1 \frac{1-v^n}{1-v} dv[/tex]. On reconnaît alors que l'intégrande est une somme géométrique et on en déduit le résultat souhaité.
Dernière modification par Choukos (09-12-2014 20:01:28)
Hors ligne
#4 09-12-2014 22:32:59
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Suite de fonction
Salut,
Pas facile la deuxième question. Voici comment je m'y prendrais, en utilisant au maximum l'inégalité des accroissements finis.
D'abord, j'écris
[tex]\cos\left(\frac x{\sqrt n}\right)^n-e^{-x^2/2}=\exp\left(n\ln(\cos(x/\sqrt n))\right)-\exp(-x^2/2)[/tex]
Or, si [tex]u,v\leq 0[/tex], on a [tex]|\exp(u)-\exp(v)|\leq e |u-v|[/tex] (par l'inégalité des accroissements finis).
On a donc
[tex]\left| \cos\left(\frac x{\sqrt n}\right)^n-e^{-x^2/2}\right|\leq e \left | n\ln(\cos(x/\sqrt n))+x^2/2\right| [/tex].
Ensuite, j'écris que [tex]x^2/2=nx^2/2n=-n\ln(\exp(-x^2/2n))[/tex].
Si [tex]n[/tex] est assez grand, alors pour tout [tex]x\in [-a,a][/tex], [tex]\cos(x/\sqrt n), \exp(-x^2/2n)[/tex] sont tous les deux dans l'intervalle [1/2,3/2]. On applique encore l'inégalité des accroissements finis à la fonction logarithme, et il vient :
[tex] \left | n\ln(\cos(x/\sqrt n))+x^2/2\right|\leq 2n\left|\cos(x/\sqrt n)-\exp(-x^2/2n)\right|[/tex].
Or, au voisinage de 0, [tex]\cos(t)-\exp(-t^2/2)=o(t^2)[/tex].
En particulier, il existe [tex]\delta>0[/tex] tel que, si [tex] |t|<\delta[/tex], alors [tex]|\cos(t)-\exp(-t^2/2)|\leq \varepsilon t^2[/tex].
Ainsi, si [tex]n[/tex] est suffisamment grand pour que [tex]\frac a{\sqrt n}<\delta[/tex], on a en posant [tex]t=x/\sqrt n[/tex],
[tex] \left|\cos(x/\sqrt n)-\exp(-x^2/2n)\right|\leq \frac{\varepsilon a^2}n[/tex].
Si on revient à la fonction initiale, on a finalement trouvé que pour tout n assez grand, pour tout x dans [-a,a], alors
[tex]\left| \cos\left(\frac x{\sqrt n}\right)^n-e^{-x^2/2}\right|\leq 2ea^2 \varepsilon[/tex],
ce qui prouve bien la convergence uniforme (si je ne me suis pas trompé!).
F.
Hors ligne
Pages : 1