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Legendre

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Topologie

Bonsoir,

Je viens vous demander de l'aide sur un problème que je viens d'inventer : trouver l'adhérence et l'intérieur des ensembles suivants [tex]S_{n},\hspace {0.1cm} S_{n}^+,\hspace {0.1cm} S_{n}^{++}[/tex].

Pour [tex]S_{n}[/tex], son adhérence vaut [tex]S_{n}[/tex] comme c'est un fermé. Pour le reste je ne vois pas trop comment procéder.

Merci de m'aider

Roro

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Re : Topologie

Bonsoir,

Pourrais-tu nous dire qui sont [tex]S_n[/tex], [tex]S_n^+[/tex] et [tex]S_N^{++}[/tex] sans quoi ton post n'a aucun sens !

Roro.

Legendre

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Re : Topologie

Je pensais que les notations étaient universelles ! Ces notations désignent respectivement l'ensemble des matrices symétriques, symétriques positives, symétriques définies positives

Roro

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Re : Topologie

Re,

Dans ce cas ([tex]S_n[/tex] pourrait aussi être le groupe des permutations à n éléments, ou bien sans doute d'autre chose... selon le contexte) :
il me semble que [tex]S_n^+[/tex] est aussi un ensemble fermé, et je crois savoir que toute matrice symétrique réelle positive est limite d'une suite de matrices symétriques réelles définies positives : l'adhérence de [tex]S_n^{++}[/tex] serait alors [tex]S_n^+[/tex].

Roro.

Legendre

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Re : Topologie

Salut,

Serait-ce possible d'avoir une démonstration?
J'ai une autre question... Comment comprendre l'adhérence et l'intérieur sur les matrices de manière intuitive, exemple sur le groupe des matrices inversibles, il est dense dans [tex]M_{n}(\mathbb{K})[/tex] en gros si on prend une matrice au hasard on a plus de chance de tomber sur une matrice inversible, est-ce bien ça? C'est par ailleurs un ouvert, donc si on change "un peu" les coefficients on a encore une matrice inversible?

Merci de m'aider

Dernière modification par Legendre (06-12-2014 14:21:32)

Roro

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Re : Topologie

Bonjour,

Une réponse : Si [tex]M\in S_n^+[/tex] alors la suite [tex]M_n=M+\frac{1}{2^n}\mathrm{Id}[/tex] est une suite de [tex]S_n^{++}[/tex] qui converge vers M.

Roro.

Legendre

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Re : Topologie

Comment montres-tu que [tex]M_{n} \in S_{n}^{++}[/tex]? Ne montres-tu juste pas [tex]S_{n}^+ \subset \overline{S_{n}^{++}}[/tex]?

Fred

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Re : Topologie

Je réponds à la place de Roro.

[tex]M_n[/tex] est dans [tex]S_n^{++}[/tex] car ses valeurs propres sont strictement positives.
Il a effectivement démontré que [tex]S_n^+\subset\overline{S_n^{++}}[/tex], mais l'autre inclusion est triviale
si on sait que [tex]S_n^+[/tex] est fermé.
Et cette dernière propriété est claire si on sait qu'être dans [tex]S_n^+[/tex], c'est être symétrique (condition fermée) et c'est vérifier
[tex]\langle MX,X\rangle\geq 0[/tex] pour tout X, condition qui est aussi fermée.

F.

Legendre

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Re : Topologie

Je n'ai pas trop compris pourquoi [tex]S_{n}^+ [/tex] est un fermé?
Qu'en est-il alors des autres ensembles?

Par ailleurs, comment montrer que l'intérieur de l'ensemble des matrices nilpotentes est l'ensemble vide?

Dernière modification par Legendre (06-12-2014 18:19:20)

Fred

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Re : Topologie

Pour moi, une matrice M est dans [tex]S_n^+[/tex] si elle est symétrique et si [tex]\langle MX,X\rangle\geq 0[/tex] pour tout vecteur X.
Si tu prends une suite [tex](M_n)\subset S_n^+[/tex] de limite [tex]M[/tex], alors [tex]M[/tex] est symétrique (par passage à la limite sur chaque coefficient des matrices), et pour tout vecteur X, on a bien [tex]\langle MX,X\rangle \geq 0[/tex] (là encore, par passage à la limite).

Si [tex]N[/tex] était dans l'intérieur des matrices nilpotents, alors il existerait [tex]\eta>0[/tex] tel que [tex]B(N,\eta)[/tex] soit contenue dans l'ensemble des matrices nilpotentes. En particulier, pour [tex]\lambda=\eta/2[/tex], on aurait [tex]\lambda I_n+N[/tex] qui serait nilpotent, ce qui n'est pas vrai (car les valeurs propres de [tex]\lambda I_n+N[/tex] sont toutes égales à [tex]\lambda[/tex] et donc sont non nulles).

F.

Legendre

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Re : Topologie

Je vois, je n'avais pas vu les choses de cette façon !
Pourquoi as-tu le droit de considérer [tex]\lambda I + N[/tex] dans l'ensemble des matrices nilpotentes?

Merci

Dernière modification par Legendre (07-12-2014 11:01:31)

Fred

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Re : Topologie

Je vois, je n'avais pas vu les choses de cette façon !
Pourquoi as-tu le droit de considérer [tex]\lambda I + N[/tex] dans l'ensemble des matrices nilpotentes?

Parce que N est dans l'intérieur....

Legendre

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Re : Topologie

Je ne comprends pas le [tex]\lambda I[/tex], j'aurais plutôt mis [tex]\frac{\lambda}{||I||}I[/tex], je me trompe?

Pour la suite qui montre que [tex]\overline{S_{n}^{++}}=S_{n}^+[/tex], peut-on mettre [tex]\frac{1}{n}[/tex] à la place de [tex]\frac{1}{2^n}[/tex] ?

Roro

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Re : Topologie

Bonjour,

Tu as raison, mais combien vaut [tex]\|\mathrm{Id}\|[/tex] ?
Oui, tu peux mettre [tex]\frac{1}{n}[/tex] à la place de [tex]\frac{1}{2^n}[/tex]...

Roro.

Legendre

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Re : Topologie

[tex]||I||[/tex] dépend de la norme utilisée, je suppose qu'il a utilisé la norme infinie?

Dernière modification par Legendre (07-12-2014 11:49:53)

Fred

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Re : Topologie

Tu as raison, c'est une erreur de ma part, mais pour la norme usuelle des applications linéaires (mais qu'on n'apprend plus en classe prépa depuis cette année), la norme vaut 1.