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#1 04-12-2014 17:43:55
- htina
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autre pb de convergence
Bonsoir,
on considère la suite [tex](f_n)[/tex] définie par [tex]f_n(x)=\sqrt{n} e^{-nx^2}[/tex].
La question est de montrer que [tex](f_n)[/tex] converge dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R})[/tex].
Ici, quelle méthode utiliser? est-ce qu'on calcule la limite dans L^1, puis on trouve une fonction L^1_{loc} qui majore f_n, pour conclure à la convergence dans D' vers la limite L^1?
ou bien, on écrit la distribution associée à (f_n), et on cherche la limite de [tex]\langle T_{f_n},\varphi\rangle[/tex] quand n tend vers l'infini?
et dans ce cas, la limite de la distribution [tex]T_{f_n}[/tex] est identique à la limite de la suite[tex] f_n[/tex]?
i.e., en général, Bonsoir,
lorsqu'on nous donne une suite de fonction [tex](f_n)[/tex] de [tex]\mathbb{R}[/tex], et qu'il est demandé de montrer sa convergence dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R})[/tex]. Si de plus, cette suite est [tex]L^1_{loc}(\R)[/tex].
Il y'a deux façons de faire:
Méthode 1: on écrit [tex]T_{f_n}[/tex] et on calcule la limite [tex]\lim_{n \to + \infty} \langle T_{f_n} , \varphi \rangle = \langle T,\varphi \rangle, \quad \forall \varphi \in \mathcal{D}(\R)[/tex]
Méthode 2: si [tex]f_n \to f[/tex] p.p dans [tex]\mathbb{R}[/tex], et s'il existe [tex]g \in L^1[/tex] telle que [tex]|f_n| \leq g[/tex], alors [tex]f \in L^1[/tex], et [tex]f_n \to f[/tex] dans [tex]\mathcal{D'}(\R)[/tex].
Dans la méthode 1, la limite est une distribution, dans la méthode 2, la limite est une distribution. Quand est ce qu'on utilise la méthode 1, et quand est ce qu'on utilise la méthode 2?
Merci beaucoup.
Merci beaucoup
Dernière modification par htina (04-12-2014 20:48:24)
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#2 04-12-2014 22:06:16
- Fred
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Re : autre pb de convergence
Bonsoir,
Cela dépend évidemment des cas. La méthode 2 est la plus facile à appliquer, mais pour cela il faut qu'il y ait effectivement convergence dans L1 et donc domination. Ce n'était pas le cas dans l'exercice précédent que tu proposais (car la norme 1 de [tex]f_n[/tex] était égale à 1, alors que la suite convergeait simplement vers 0). C'est encore le cas ici, on ne peut pas appliquer cette méthode, car si [tex](f_n)[/tex] converge presque partout vers la fonction nulle, on a [tex]\int_{\mathbb R}|f_n|=\int_{\mathbb R}|f_1|[/tex] comme le montre facilement un changement de variables, et donc en particulier [tex](f_n)[/tex] ne tend pas vers 0 dans [tex]L^1[/tex].
Pour l'exercice que tu as a traité ici, la méthode est très proche de l'exercice précédent. Notons [tex]a=\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx=\int_{\mathbb R}\sqrt n e^{-nx^2}dx.[/tex] Alors
[tex]\begin{eqnarray*}
|\langle T_{f_n},\phi\rangle-a \langle \delta_0,\phi\rangle|&=&\left| \int_{\mathbb R}\sqrt n e^{-nx^2}(\phi(x)-\phi(0))dx\right|\\
&\leq &\int_{\mathbb R}e^{-u^2}\left|\phi\left(\frac{u}{\sqrt n}\right)-\phi(0)\right|du
\end{eqnarray*}
[/tex]
et puis on conclut toujours par l'inégalité des accroissements finis....
Fred.
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#3 04-12-2014 22:11:42
- htina
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Re : autre pb de convergence
Mais les résultats sont différents. Étudier la convergence d'une fonction est différent de la convergence de la distribution déduite de cette fonction, et ce n'est pas la même limite. Non?
si une fonction L^1_loc convergence, c'est équivalent à la convergence déduite de cette fonction?
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#4 04-12-2014 22:13:04
- Fred
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Re : autre pb de convergence
Si la suite de fonctions converge dans L1, alors elle convergera au sens distributions.
Mais ta suite de fonctions peut ne pas converger dans L1, et converger au sens des distributions, comme c'est le cas ici.
F.
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#8 04-12-2014 22:47:49
- Fred
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Re : autre pb de convergence
Ah non, relis ton cours!
Quand tu dis que [tex](f_n)[/tex] converge dans [tex]\mathcal D'(\mathbb R)[/tex], tu parles de convergence au sens des distributions.
Donc en réalité tu fais un abus de langage. Ce n'est pas vraiment la suite [tex](f_n)[/tex] qui converge, c'est la suite des distributions associée à [tex](f_n)[/tex], c'est-à-dire la suite [tex](T_{f_n})[/tex]
Donc dire que [tex](f_n)[/tex] converge vers [tex]f[/tex] dans [tex]\mathcal D'(\mathbb R)[/tex], c'est dire que [tex](T_{f_n})[/tex] converge vers [tex]T_f[/tex], c'est dire que pour toute fonction test, [tex]\langle T_{f_n},\phi\rangle\to \langle T_f,\phi\rangle[/tex].
Maintenant, tu as une condition suffisante : si [tex](f_n)[/tex] converge vers [tex]f[/tex] dans [tex]L^1(\mathbb R)[/tex], alors [tex](T_{f_n})[/tex] converge vers [tex]T_f[/tex] (dans [tex]\mathcal D'(\mathbb R)[/tex].
Mais, comme c'est le cas ici, ta suite [tex](f_n)[/tex] peut très bien ne pas converger dans [tex]L^1(\mathbb R)[/tex] alors que la suite [tex](T_{f_n})[/tex] converge dans [tex]\mathcal D'(\mathbb R)[/tex].
F.
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#10 05-12-2014 17:27:23
- htina
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Re : autre pb de convergence
Dans cet exercice, je ne comprend pas le calcul que vous avez fait, puisqu'on ne nous a pas donné la limite comme dans l'exercice précédent.
Si on applique la définition, on prend une fonction teste [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], et on a:
[tex]\lim_{n \to + \infty} \displaystyle\int_{\mathbb{R}}\sqrt{n} e^{-n x^2} \varphi(x) dx[/tex], on fait un changement de variables en posant [tex]y=\sqrt{n}x[/tex], et on obtient que
[tex]\lim_{n \to + \infty} \langle T_{f_n} , \varphi \rangle = \lim_{n \to + \infty} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} e^{-y^2} \varphi(\dfrac{y}{\sqrt{n}}) dy[/tex].
Après ca, je ne vois pas comment finir.
si j'essaye l'ipp, en prenant [tex]v'=e^{-y^2}[/tex], on ne connait pas v.
Merci beaucoup.
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#13 05-12-2014 18:41:10
- Fred
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Re : autre pb de convergence
Parce que tout le poids des fonctions fn se concentre en l'origine. Je me doutais donc que la limite allait être un multiple de la masse de Dirac en 0. Et le bon multiple a, c'est justement le poids de chaque fonction.
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#16 05-12-2014 20:47:09
- htina
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Re : autre pb de convergence
1- étudier la convergence presque partout de [tex]f_n(x)[/tex]. Soit [tex]x[/tex] fixé dans [tex]\mathbb{R}[/tex]. Quand n tend vers [tex]+\infty[/tex], [tex]\sqrt{n} \to + \infty[/tex], et [tex]e^{-nx^2} \to 0[/tex], c'est une limite indéfinie, alors on oublie [tex]\sqrt{n}[/tex] pour le moment, et on considère [tex]g_n(x)=e^{-nx^2}[/tex] qui converge p.p vers 0.
2- Il faut trouver une fonction [tex]g[/tex] de X dans [tex][0,+\infty][/tex] majorant toutes les fonctions [tex]g_n[/tex]. on a [tex]|e^{-nx^2}| \leq \sup_x |e^{-nx^2}|[/tex]
mais ce dernier dépend de n,
comment trouver g?
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#19 05-12-2014 21:22:30
- Legendre
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Re : autre pb de convergence
Tu peux aisément trouver une primitive pour cette fonction ! A mon avis ta vraie question portait sur la même intégrale sans le y, l'existence de [tex]\int_0^{+\infty}\,e^{-x^2}dx[/tex] est équivalente à l'intégrabilité sur [tex][0,+\infty[[/tex] de [tex]x\mapsto e^{-x^2}[/tex] or au voisinage de l'infini on a [tex]e^{-x^2}=o(\frac{1}{x^2})[/tex]
Dernière modification par Legendre (05-12-2014 21:29:29)
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