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#1 04-12-2014 12:08:48
- htina
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convergence
Bonjour,
Soit une suite [tex](f_n)[/tex] donnée par:
[tex]
f_n(x)
=
\begin{cases}
n, & x \in ]0,1/n[\\
0, & x \in C_{\mathbb{R}}(]0,1/n[)
\end{cases}
[/tex]
La question est d'étudier la convergence simple de [tex](f_n)[/tex].
Soit donc [tex]x[/tex] fixé dans [tex]\mathbb{R}[/tex], et on cherche [tex]\lim_{n \to +\infty } f_n(x)[/tex]. Je n'arrive pas à expliquer comment calculer cette limite.
2- et ma deuxième question, est comment montrer que la suite [tex](f_n)[/tex] converge dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R}[/tex].
Pour ca, il suffit de montrer que pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], on a:
[tex]\lim_{n \to +\infty} \langle T_{f_n} , \varphi \rangle = \varphi(0)[/tex].
J'ai fait ceci:
[tex]|\langle T_{f_n},\varphi \rangle| \leq n \displaystyle\int_0^{1/n} |\varphi(x) - \varphi(0)| dx[/tex].
je ne sais pas comment finir.
Merci de m'aider.
Dernière modification par htina (04-12-2014 13:23:24)
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#2 04-12-2014 14:06:19
- Fred
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Re : convergence
Salut
1) Je pense que cela ne pose pas de problèmes si [tex]x\leq 0[/tex].
Maintenant, si [tex]x=0,1[/tex] par exemple pose toi que vaut [tex]f_1(x), f_2(x),\dots [/tex].
Tu peux ensuite faire la même chose pour tous les [tex]x>0[/tex].
2) Majore [tex]|\varphi(x)-\varphi(0)|[/tex] par l'inégalité des accroissements finis.
F.
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#3 04-12-2014 14:28:13
- htina
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Re : convergence
pour 1, on fixe le x et à partir d'un certain rang n_0, x qu'on a fixé devient dans le complémentaire de ]0,1/n[ (on a un peu l'impression que x n'est pas fixé comme ca), mais en fait, le domaine où vit x, dépend de n. c'est bien ca? et f_n dépend de n?
Et pour finir, la limite simple est donc 0?
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#5 04-12-2014 17:16:49
- htina
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Re : convergence
et pour ma question 2, on a:
[tex]|\langle T_{f_n},\varphi \rangle - \langle \delta,\varphi \rangle| \leq n \displaystyle\int_0^{1/n} |\varphi(x)-\varphi(0)| dx.[/tex]
Par les accroissements finis, il existe [tex]\xi_x \in ]0,x[[/tex], telle que: [tex]\varphi(x)-\varphi(0)=x \varphi'(\xi_x)[/tex]. Ainsi,
[tex] |\langle T_{f_n},\varphi \rangle - \langle \delta,\varphi \rangle| \leq n \displaystyle\int_0^{1/n} |x \varphi'(\xi_x)| dx [/tex];
où [tex]M=\sup_{x \in supp \varphi} |\varphi(x)|[/tex]
[tex]\leq n M \displaystyle\int_0^{1/n} x dx = \dfrac{M}{2} n \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{M}{2} n \dfrac{1}{n^2}[/tex] qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini, d'où la convergence.
est-ce que tout est correct svp?
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#7 05-12-2014 11:37:11
- htina
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Re : convergence
La quéstion qui vient après, c'est: montrer que [tex]f_n^2[/tex] ne converge pas dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R})[/tex].
Voici ce que j'ai fait. Soir [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]\lim_{n \to + \infty} \langle T_{f_n^2},\varphi\rangle = \lim_{n \to +\infty} \displaystyle\int_0^{1/n} n^2 \varphi(x) dx = \lim_{n \to + \infty} n^2 \displaystyle\int_0^{1/n} \varphi(x) dx.[/tex]
Comme [tex]\varphi[/tex] est une fonction test, alors [tex] \displaystyle\int_0^{1/n} \varphi(x) dx=M[/tex], ainsi,
[tex]\lim_{n \to + \infty} \langle T_{f_n^2},\varphi \rangle = \lim_{n \to + \infty} (n^2 M) = + \infty[/tex], d'où la non convergence de [tex]f_n^2[/tex] dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R})[/tex].
Avez vous une remarque, et est-ce qu'il y'a une méthode plus directe pour y arriver? (par exemple en utilisant la question précédente
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#8 05-12-2014 13:14:37
- Fred
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Re : convergence
La méthode est bonne, mais tu as fait une erreur. Il n'y a pas de raisons pour que
[tex]\int_0^{1/n}\varphi(x)dx=M[/tex] avec une constante [tex]M[/tex] ne dépendant pas de [tex]n[/tex].
A ta place, je choisirais une fonction test particulière, par exemple une fonction test telle que [tex]\varphi(x)=1[/tex]
sur l'intervalle [tex] [-1,1] [/tex] (une telle fonction existe). Pour cette fonction, tu peux calculer sans problèmes l'intégrale entre 0 et
1/n.
F.
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#9 05-12-2014 18:58:56
- htina
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Re : convergence
Je vais peut être posé une question bête, mais je me mélange un peu. La suite [tex](f_n)[/tex] n'est pas conontinue, et pourtant elle est intégrable. C'est normal? Je veux dire que pour une fonction soit intégrable, elle doit être continue. Non?
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#11 06-12-2014 20:25:28
- htina
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Re : convergence
Une chose que je ne comprend pas ici, pourquoi on ne peut pas utiliser ici le résultat qui dit que: si [tex](f_n)[/tex] est une suite de [tex]L^1_{loc}[/tex], qui converge p.p vers f, et s'il existe [tex]g \in L^1_{loc}[/tex] telle que[tex] |f_n(x)| \leq g(x)[/tex], alors [tex]f_n[/tex] converge dans D' vers f.
Vous dites dans un précédent message, que c'est parce que [tex]\int |f_n| = \int |f_n|[/tex] , mais je ne comprend pas comment vous avez trouvé ce résultat, et que faut il en conclure?
Merci beaucoup.
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#13 10-12-2014 19:14:29
- htina
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Re : convergence
Dans le problème de mon premier poste, si au lieu d'utliser les accroissements finis, on a majorer [tex]\displaystyle\int_0^{1/n} |\varphi(x) - \varphi(0)| dx[/tex] par [tex]\sup_{x \in K} |\varphi(x) - \varphi(0)|=M[/tex], où [0,1/n] est inclus dans n, et K est indépendant de n. Est-ce que c'est correcte?
Merci.
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