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samir123

Invité

permutation

bonjour
pouvez vous m'aider a resoudre ce probleme:
soit S4 le groupe des permutations de {1,2,3,4} et A4=kerε ou ε désigne la signature d'une permutation.
existe t-il un sous groupe de A4 d'ordre 6?
merci d'avance.

Fred

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Re : permutation

Bonsoir,

  Je veux bien t'aider. Peux-tu d'abord nous donner la liste de tous les éléments de A4.

F.

samir123

Invité

Re : permutation

salut
les elements de A4 sont {id,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3),(1)(2,3,4),(1)(2,4,3),(2)(1,3,4),(2)(1,4,3),(3)(1,2,4),(3)(1,4,2),(4)(1,2,3),
(4)(1,3,2)}

Fred

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Re : permutation

Alors donc, dans A4, il y a :
- l'identité
- 3 doubles transpositions
- huit 3-cycles.

Imaginons qu'il y ait un sous-groupe G à 6 éléments. Il contient forcément l'identité.
S'il contient un 3-cycle, il contient tous les itérés, soit encore 3 autres éléments.
Ainsi, il n'y a plus de place pour contenir un autre 3-cycle.
Mais on n'est pas encore rendu à 6 éléments. Il faut donc au moins une double transposition dans le sous-groupe.
Mais là encore, cela va être impossible. Pourquoi? Note [tex]s_1[/tex] ton 3-cycle et [tex]s_2[/tex] ta double transposition.
A quoi est égal [tex] s_2\circ s_1\circ s_1^{-1} [/tex]???

F.

samir123

Invité

Re : permutation

=s2

Fred

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Re : permutation

Pardon, je me suis trompé, je voulais dire [tex]s_2\circ s_1\circ s_2^{-1}[/tex]

samir123

Invité

Re : permutation

=s2∘s1∘s2

Fred

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Re : permutation

Certes, mais encore.... Parmi les permutations de A4, de quel type est cette nouvelle permutation?

samir123

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Re : permutation

il est d'ordre 3 donc c'est un 3 cycle?

Fred

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Re : permutation

Oui, c'est un 3-cycle, et en plus son support est différent du support de [tex]s_1[/tex], on a donc fait apparaître un nouveau 3-cycle, et on est ramené à un cas précédent.

samir123

Invité

Re : permutation

mais pourqUoi il est de support different de celui de s1?

Fred

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Re : permutation

Tu peux choisir un des 3-cycles et calculer tous les conjugués avec les double-transpositions (ce qui te fait 3 calculs) et tu pourras le constater...

samir123

Invité

Re : permutation

on verifie avec un seul 3 cycle ou avec les 8 trois cycle de A4?

Fred

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Re : permutation

Ca suffit de vérifier avec un seul des 3-cycles, cela marcherait de la même façon (par symétrie du rôle joué par 1,2,3,4) pour les autres 3-cycles.

Voici une esquisse de preuve plus algébrique :
1. Si G était un sous-groupe d'ordre 6 de A4, alors il serait d'indice 2. En particulier, pour tout [tex]x\notin G[/tex], on aurait [tex]G\cup xG=A_4[/tex]
2. On prouve alors que [tex]G[/tex] doit contenir tous les éléments du type [tex]x^2[/tex].
3. Des carrés dans A4, il y a en a 9 (tous les 3-cycles sont des carrés).

F.

samir123

Invité

Re : permutation

Fred  pouvez vous me dire si S4 contient un sous groupe d'ordre 6.si oui lequel?

Fred

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Re : permutation

Ca, c'est facile, car dans S4 il y a S3, qui est d'ordre 6.