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Legendre

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Polynôme minimal

Salut, j'aurais besoin d'aide sur l'exercice suivant :

Soit [tex]A \in M_{n}(\mathbb{C})[/tex], calculer le polynôme minimal de [tex]B=\left[
\begin{array}{cc}
A &I_{n} \\
0 & A
\end{array}\right][/tex] en fonction de celui de [tex]A[/tex].

J'ai montré que pour tout entier n non nul, [tex]B^n=\left[
\begin{array}{cc}
A^n & nA^{n-1} \\
0 & A^n
\end{array}\right][/tex] et donc que [tex]\pi_{A}|\pi_{B}[/tex] et [tex]\pi_{A}|\pi_{B}'[/tex]. Je suis bloqué là, un indice? Merci!

Dernière modification par Legendre (21-11-2014 17:28:17)

Fred

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Re : Polynôme minimal

Tu y es presque. Tu as plus précisément que [tex]P(B)=0\iff \pi_A|P\textrm{ et }\pi_A|P'[/tex] et [tex]\pi_B[/tex] est le polynôme unitaire de plus petit degré vérifiant ces deux conditions.
Factorisons [tex]\pi_A(X)=(X-a_1)^{m_1}\cdots (X-a_r)^{m_r}[/tex].
Alors [tex]P(X)=(X-a_1)^{p_1}\cdots (X-a_r)^{p_r}Q(X)[/tex] avec [tex]m_1\leq p_1[/tex] puisque [tex]\pi_A|P[/tex]. Ainsi, [tex]a_i[/tex] est racine de multiplicité [tex]p_i[/tex] de [tex]P[/tex], donc de multiplicité [tex]p_i-1[/tex] de [tex]P'[/tex].
Mais c'est aussi une racine de multiplicité au moins [tex]m_i[/tex] puisque [tex]\pi_A|P'[/tex]. On en déduit que [tex]p_i\geq m_i+1[/tex] et donc que le polynôme [tex]R(X)=(X-a_1)^{m_1+1}\cdots (X-a_r)^{m_r+1}[/tex] divise [tex]\pi_B[/tex].
Mais réciproquement, on a [tex]\pi_A|R[/tex] et [tex]\pi_A|R'[/tex] et donc finalement [tex]\pi_B=R[/tex].

Legendre

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Re : Polynôme minimal

Pas mal, merci!