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momoyoyo

Invité

differentielle d'une application

Bonjour
Je voudrais calculer la différentielle de cette application $f$,,, J'ai essayé la méthode classique mais elle n'a donné aucun résultat peut-être en utilisant la différentielle de deux applications composées mais je ne sais pas comment faire ça.

Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ une application de $E$ dans $E$ et $T$ une forme trilinéaire symétrique définie positive de $E$ dans $\mathbb R$ et  $$f(x) = \frac{x}{{\sqrt {1 + T(x,x,x)} }}$$
Merci d'avance pour votre aide.

Fred

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Re : differentielle d'une application

Je ne sais pas ce que tu appelles la méthode classique, mais c'est très clair qu'il faut utiliser la différentielle de deux fonctions composées. D'une part, tu as la fonction [tex]f:\mathbb R_+\to \mathbb R,\ u\mapsto\frac{1}{\sqrt {1+u}}[/tex] dont tu peux calculer la différentielle.
D'autre part, tu as la fonction [tex]g:x\mapsto T(x,x,x)[/tex] dont tu peux aussi calculer la différentielle. Toi, tu veux la différentielle de [tex]f\circ g[/tex] au point [tex]x[/tex]. Tu as alors la formule :

[tex]d_x(f\circ g)=d_{g(x)}f\circ d_{x}g.[/tex]

Si tu ne vois pas trop comment calculer cette composée, calcule d'abord les deux différentielles de [tex]f[/tex] et de [tex]g[/tex] et reviens nous voir!

momoyoyo

Invité

Re : differentielle d'une application

ey le $x$ qui est dans le numérateur ....?

Fred

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Re : differentielle d'une application

Ah oui, j'avais oublié ce [tex]x[/tex]. Eh bien disons que tu écris [tex]f(x)=x\psi(x)[/tex]
où la différentielle de [tex]\psi[/tex] a été déterminée par la méthode précédente. Puis tu fais la méthode "habituelle" :
[tex]\psi(x+h)-\psi(x)=(x+h)\psi(x+h)=(x+h)(\psi(x)+d_x\psi(h)+o(h))[/tex]
et tu développes...