Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 04-11-2014 10:45:33
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
application bien définie
Bonjour
ma question est: comment voir si l'application suivante est une distribution
[tex]Pf\left (\dfrac{1}{x^2}),\varphi \right) = \lim_{\epsilon \to 0}\;\left (\int_{|x|\geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx - 2 \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}\right)[/tex]
On comment par voir si cette application est bien définie.
on pose [tex]supp \varphi[/tex] inclus dans [-a,a]. ce qui fait que toutes les intégrales qui apparaissent sont finies. Est-ce que celà suffit à conclure qu'elle est bien définie?
et comment faire la continuité?
Merci beaucoup
Hors ligne
#3 19-11-2014 20:24:16
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
Re : application bien définie
Tout d'abord, on remarque que
[tex]\displaystyle\int_{|x|\geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx =
\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx
[/tex]
et puisque [tex]\varphi[/tex] est à support compact dans [tex]\mathbb{R}[/tex], on suppose que [tex]supp \varphi[/tex] est inclus dans [tex][-a,a][/tex], et par conséquent
[tex]
\displaystyle\int_{|x|\geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx = \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx
+ \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx.
[/tex]
On note
[tex]
u_{\epsilon} = \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx +
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx - 2 \varphi(0)
[/tex].
Le développement de Taylor-Young au voisinage de 0, au point x, nous donne:
[tex]
\varphi(x)=\varphi(0)+x \varphi'(0)+\dfrac{x^2}{2} \varphi''(\xi_{\epsilon}), \quad \xi_{\epsilon}\in (0,x)
[/tex]
On a alors:
[tex]
u_{epsilon}= \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{x \varphi'(0)}{x^2} dx +
\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{x^2}{2} \varphi''(\xi_x) dx
[/tex]
[tex]
+ \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{x \varphi'(0)}{x^2}dx
+ \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{x^2}{2} \varphi''(\xi_x) dx - 2 \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}
[/tex]
Si on utilise le fait que
[tex]
\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx = - \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx
[/tex],
il ne reste que
[tex]-2 \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}[/tex]
ce qui n'arrange rien. Comment faire ici s'il vous plaît
Hors ligne
#4 19-11-2014 21:32:01
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : application bien définie
Si on utilise le fait que
[tex]
\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx = - \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx
[/tex]
Tu as tort ici : les deux quantités que tu as écrites sont égales, pas opposées. Et c'est la somme des deux qui va simplifier le terme qu'il reste.
Hors ligne
#5 19-11-2014 22:51:48
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
Re : application bien définie
Question 1: une chose m'échappe, pourquoi [tex]\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx
=
-\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx.
[/tex]
Question 2. Avec ca, on a:
[tex]
u_{\epsilon}=2 \varphi(0) \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{1}{\epsilon^2} dx + 2 \varphi'(0)\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{1}{x} dx
+ \displaystyle\int_{\epsilon}^a x^2 \varphi''(\xi_{\epsilon}) dx - 2 \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}
[/tex]
[tex]
=-\dfrac{2}{a} \varphi(0) + 2 \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + 2 \ln(a) \varphi' (0) - 2 \ln(\epsilon) \varphi'(0)
+ \displaystyle\int_{\epsilon}^a x^2 \varphi''(\xi_{\epsilon}) dx - 2 \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}
[/tex]
Il y'a toujours un problème pour passer à la limite quand [tex]\epsilon \to 0[/tex].
Hors ligne
#7 20-11-2014 11:16:23
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
Re : application bien définie
J'essaye de simplifier, mais je ne vois pas comment. Si on fait un développement d'ordre 1 (au lieu d'un développement d'ordre 2), [tex]\varphi(x)= \varphi(0) + x \varphi'(\xi_x), \quad \xi_x \in (0,x)[/tex]on obtient:
[tex]
u_{\epsilon}= 2 \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx + 2 \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi'(\xi_x)}{x^2} dx - 2 \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}.
[/tex]
et rien ne se simplifie. Je ne comprend pas.
Hors ligne
#8 20-11-2014 21:36:43
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : application bien définie
Mais si les choses se simplifient, si tu as le courage de calculer effectivement les intégrales. Pour la première intégrale, on a
[tex]2\int_{\varepsilon}^a \frac{\varphi(0)}{x^2}=2\frac{\varphi(0)}{\varepsilon}-2\frac{\varphi(0)}{a},[/tex]
et là il va y avoir des choses qui se simplifient!
Hors ligne
#9 20-11-2014 22:13:01
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
Re : application bien définie
oui, alors on a
[tex]
u_{\epsilon}=-2 \dfrac{\varphi(0)}{a}+2 \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi'(\xi_x)}{x^2}dx
[/tex]
ainsi,
[tex]
|u_{\epsilon}| \leq 2 \dfrac{\varphi(0)}{a} + 2 \sup_{x \in \mathbb{R}} |\varphi'(x)| \displaystyle\int_a^{\epsilon} \dfrac{1}{x^2} dx
[/tex]
mon problème est le passage à la limite, ca ne converge pas., vu qu'on a [tex]\dfrac{1}{\epsilon}[/tex], c'est ca mon problème.
Hors ligne
#10 20-11-2014 22:26:36
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : application bien définie
Tu as oublié un [tex]x[/tex] en cours de route, et au dénominateur de ta deuxième intégrale, tu n'as pas [tex]x^2[/tex] mais [tex]x[/tex], et donc le terme d'ordre 1 se simplifie (car cette fois on intègre une fonction impaire sur un intervalle symétrique par rapport à l'origine).
Hors ligne
#11 20-11-2014 22:58:19
- htina
- Membre
- Inscription : 20-10-2014
- Messages : 172
Re : application bien définie
Ok, alors
[tex]
u_{\epsilon}=2 \dfrac{\varphi(0)}{a} + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi'(\xi_x)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi'(\xi_x)}{x}dx.
[/tex]
puisque la fonction [tex]\dfrac{\varphi'(\xi_x)}{x}[/tex] est impaire, on a:
[tex]u_{\epsilon}=2 \dfrac{\varphi(0)}{a}[/tex], ainsi, [tex]\langle Pf(\dfrac{1}{x^2}),\varphi \rangle = 2 \dfrac{\varphi(0)}{a}[/tex], donc elle est bien définie.
Pour la linéarité, elle est claire.
Pour la continuité, soit [tex]K=[-a,a][/tex] un compact de [tex]\mathbb{R}[/tex], et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K(\mathbb{R}[/tex]. On a:
[tex]
|\langle Pf(\dfrac{1}{x^2}),\varphi \rangle|= 2|\dfrac{\varphi(0)}{a})| \leq \dfrac{2}{a} \sup_{x\in K} |\varphi(x)| \leq C P_{K,0}(\varphi).
[/tex]
Ce qui montre la continuité, et on déduit que [tex]Pf(\dfrac{1}{x^2})[/tex] est une distribution d'ordre 0.
Ma question est: est-ce que si on choisit [tex]C=\dfrac{2}{a}[/tex], il sera dépenda de [tex]\varphi[/tex] ou de K? puisque la constante que done la continuité, doit être indépendante de K et de [tex]\varphi[/tex]?
Hors ligne
Pages : 1