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anna

Invité

Calcul d'une intégrale

Comment calculer [tex]\int \frac{x^2+5x-4}{(x-2)(x^2+1)}[/tex]?

Dernière modification par yoshi (08-11-2014 16:07:42)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Calcul d'une intégrale

Bonjour,

Merci d'y penser !

@+

     Yoshi
- Modérateur -

totomm

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Re : Calcul d'une intégrale

Bonjour,

d'abord dire Bonjour ou bonsoir,
ensuite décomposer en fractions que l'on sait intégrer : [tex]\frac{a}{x-2}+\frac{bx}{x^2+1}+\frac{c}{x^2+1}[/tex]
et plus tard, peut-être dire merci...

Hugo0

Invité

Re : Calcul d'une intégrale

Bonjour.
Totomm, votre message tombe bien, je me suis toujours demandé quelle était la technique pour savoir qu'il est possible de décomposer un quotient en somme de quotient à dénominateur plus simple avec des coefficient à retrouver au numérateur.
Nous utilisons cela régulièrement depuis quelques années déjà mais je n'en connais pas la cause, et c'est embêtant ! merci d'avance :)

freddy

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Re : Calcul d'une intégrale

Salut,

c'est la technique de la décomposition en éléments simples de première et seconde espèce.

Cf. ce lien http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9com … ts_simples et là : http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … imple.html
Niveau L1.

hugoo

Invité

Re : Calcul d'une intégrale

Merci, tout est bien expliqué sur votre site !
J'ai testé sur l'exemple du sujet et trouve a=2 b=-1 et c=3 .
est-ce cela?

totomm

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Re : Calcul d'une intégrale

Bonsoir,

Oui bien sûr, donc [tex]\int \frac{x^2+5x-4}{(x-2)(x^2+1)}= ?[/tex]

hugoo

Invité

Re : Calcul d'une intégrale

Désolé je ne sais pas écrire en Latex.
En gros je sépare mon intégrale en 3 par linéarité de l’intégrale,
puis je primitive chaque morceau.
Mais le 3ème morceau pose problème car il est de la forme 3.(1/U) avec U=(x^2)+1.
Et je ne sais pas le primitiver.
par contre en me plongeant dans C je peux factoriser U de manière à obtenir U=(x+i)(x-i),
et refaire une décomposition en facteurs simples avec mon 3/U.
est-ce si compliqué ou bien j'ai loupé quelque chose?

hugoo

Invité

Re : Calcul d'une intégrale

aah non pour 3ème partie on obtient du 3.arctan(x)
faudrait que je revois mes tables de primitives ...
merci en tout cas !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Calcul d'une intégrale

Re,

Désolé je ne sais pas écrire en Latex.

Objection refusée !
1. Il y a un lien en bas de fenêtre de rédaction des messages : Code LateX qui te permet d'apprendre.
    Aucun prérequis exigé (à part de l'huile de méninges ^_^) ;
2. Il y a un bouton en bas de fenêtre de rédaction des messages : Insérer une équation.   Prérequis : avoir installé Java sur sa machine...
    Moyennant en quoi, en cliquant dessus, tu accèdes à une interface maison du type éditeur d'équation de Word ou OpenOffice.
    Un tout petit tuto (70 ko) en pdf y est dispo pour t'aider, si besoin est, à mettre le pied à l'étrier...

En résumé : Yaka !

@+

hugoo

Invité

Re : Calcul d'une intégrale

De toute façon ce n'est pas moi qui ai lancé ce sujet, je voulais juste comprendre la théorie de décomposition en éléments simples, l'intégrale après "décomposition", je sais la calculer et je laisse à anna le soin de le retrouver elle même :)
Mais oui il serait souhaitable que je me mette au Latex.

totomm

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Re : Calcul d'une intégrale

Bonsoir,

@ hugoo : oui, vous avez manqué quelque chose

dans [tex]\frac{bx}{x^2+1}[/tex] il y a au numérateur de quoi faire apparaitre la dérivée du dénominateur
donc quelque chose avec Ln(u) en posant u=x²+1 (Ln=Logarithme népérien)

et une primitive de [tex]\frac{1}{x^2+1}[/tex] est arctan(x)

hugoo

Invité

Re : Calcul d'une intégrale

en effet totomm, c'est ce que j'ai fini par voir ! :)
Mais bon vu que le corps n'est pas précisé rien ne m'empêche de scinder le polynôme au dénominateur sur C, puis de faire la décomposition en éléments simples avec les racines complexes.