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Blis3

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variable aléatoire

bonjour à tous, j'aimerais avoir une aide sur cet exercice :

Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire simultanément 2 boules au hasard, et on note respectivement X et Y le plus grand et le plus petit des deux numéros obtenus.

a) Déterminer la loi de X
b) Déterminer la loi de Y.

j'ai fait :

a) X(E)=[[2,n]]. X suit une loi binomiale de paramètre B(2,1/2) donc on applique la formule relative...
b) Y(E)=[[1,n-1]] même chose

merci !

freddy

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Re : variable aléatoire

Salut,

où vois-tu un schéma de Bernoulli dans l'expérience aléatoire décrite ?

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Re : variable aléatoire

oui c'est vrai à mieux relire il n'y pas d'expérience de bernoulli !

du coup je ne vois pas trop quelle loi est présentée ici...j'hésite entre géométrique et uniforme

freddy

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Re : variable aléatoire

Re,

si tu réfléchis un peu, tu vas trouver celle des deux qui convient.

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Re : variable aléatoire

je dirais géométrique puisque on tire 2 boules parmi n boules qui correspond à l'échantillon tel que H:(n,2,p) avec p=?

freddy

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Re : variable aléatoire

Re,

Réfléchir = raisonner. Comment raisonnerais-tu pour soutenir ton hypothèse ?
Par exemple, essaie de déterminer la proba que X = a, a dans X(E) !

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Re : variable aléatoire

X(E)=[[2,n]]

il y a 1/(n-2) que X=a dans X(E) ?

freddy

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Re : variable aléatoire

X(E)=[[2,n]]

il y a 1/(n-2) que X=a dans X(E) ?

c'est quoi, ce charabia ?

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Re : variable aléatoire

je croyais qu'il y avait 1/(n-2) pour que l'évenement X=a soit réalisé...

freddy

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Re : variable aléatoire

Non, il faut que tu remontes à l'origine de l'obtention du nombre a !

On tire deux boules numérotées d'une urne qui contient n boules numérotées de 1 à n.

Le cardinal de l'univers est égal à [tex]\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}[/tex]

Donc l'obtention de chaque couple (a,b) est équiprobable et [tex]X=\max(a,b)[/tex], [tex]Y=\min(a,b)[/tex].

Ensuite, détermine[tex] \Pr(X=a)[/tex] !

Dernière modification par freddy (01-11-2014 17:53:50)

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Re : variable aléatoire

comme on tire 2 boules parmi les n possibles, et bien a est forcément parmi ces 2 boules donc p(A)=1/2?

désolé je n'y arrive pas

freddy

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Re : variable aléatoire

Non, il faut que tu remontes à l'origine de l'obtention du nombre a !

On tire deux boules numérotées d'une urne qui contient n boules numérotées de 1 à n.

Le cardinal de l'univers est égal à [tex]\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}[/tex]

Donc l'obtention de chaque couple (a,b) est équiprobable et [tex]X=\max(a,b)[/tex], [tex]Y=\min(a,b)[/tex].

Ensuite, détermine[tex] \Pr(X=a)[/tex] !

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Re : variable aléatoire

P(X=a)=1/(2 parmi n) alors ?

si ce n'est pas ça je ne sais plus quoi faire...

freddy

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Re : variable aléatoire

T'es en quelle année de quoi ?

freddy

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Re : variable aléatoire

Sinon, regarde du côté de la proba de tirer tous les couples (a,b) tel que b < a  ...

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Re : variable aléatoire

au risque de vous énervez pourriez vous juste me donner la réponse pour la a) afin que je puisse définitivement comprendre et essayer de faire la b) ? (désolé j'ai pas mal de travail et je ne peux pas me permettre de rester connectée toute la soirée) voià c'est dit ne m'en voulez pas ...

freddy

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Re : variable aléatoire

Salut,

pourquoi s'énerver ? Le problème est que tu es en difficulté sur ce type de sujet, comme sur le sujet précédent, où Fred t'a aidé. Ce qui compte est que tu comprennes, c'est l'objectif de ce site d'entraide, pas de donner des réponses toutes faites. A toi de déterminer pourquoi tu es en difficulté, à nous de savoir jusqu'où ne pas aller.

Donc comme indiqué, il faut reprendre l'origine de la fabrication des variables aléatoires X et Y. C'est le tirage du couple (a,b), avec [tex]1 \le b \lt a \le n[/tex]
Chaque couple a pour proba élémentaire [tex]\frac{2}{n(n-1)}[/tex].

Donc [tex]\Pr(X=a) = \sum_{b=1}^{a-1}\Pr(X=a, Y=b)=\sum_{1}^{a-1}\frac{2}{n(n-1)}=\frac{2(a-1)}{n(n-1)}[/tex] avec [tex]2 \le a \le n[/tex].

Et on vérifie que [tex]\sum_{a=2}^n\Pr(X=a) =\frac{2}{n(n-1)} \sum_{a=2}^n(a-1)=\frac{2}{n(n-1)}\times \frac{(n-1)n}{2}=1[/tex]

Je te laisse déterminer la loi de Y.

Et je répète ma question : tu es en quelle année de quoi ?

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Re : variable aléatoire

merci je vais essayer pour Y
je suis en première année de prépa bio

freddy

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Re : variable aléatoire

Re,

et viens nous dire quoi !

Blis3

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Re : variable aléatoire

juste avant de continuer, j'ai du mal à comprendre comment vous trouvez 2/n(n-1) pour la probabilité de chacun des couples ?

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Re : variable aléatoire

avez vous fait : 1/(n(n-1))/2 ?

freddy

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Re : variable aléatoire

On tire deux boules numérotées d'une urne qui contient n boules numérotées de 1 à n.

Le cardinal de l'univers est égal à [tex]\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}[/tex]

Donc l'obtention de chaque couple (a,b) est équiprobable

et [tex]\Pr(a,b)=\frac{2}{n(n-1)}[/tex].

Donc oui !

Dernière modification par freddy (02-11-2014 09:43:29)

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Re : variable aléatoire

sinon j'ai trouvé pour la b) ceci :

Y(E)=[[1,n-1]]. On cherche P(Y=min(a,b))
card(E)=n(n-1)/2
On pose 1<=a<b<=n-1
donc [tex]P(Y=a)=\sum_{a=1}^{b-1} P(Y=a,X=b)= \sum_{a=1}^{b-1) 2/n(n-1)\=2(b-1)/n(n-1)\[/tex]

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Re : variable aléatoire

désolé le mode tex a été mal écrit dites moi si vous avez du mal à lire

[EDIT by Yoshi]

La première ligne de mon tuto précise bien qu'il faut encadrer les formules entre 2 balises tex et /tex) (entre crochets)
Tu sélectionnes ta formule et cliques sur l'iicône ^TE^X 1ere à gauche de la barre d'outils des messages.
Comme ça :

Y(E)=[[1,n-1]]. On cherche P(Y=min(a,b))
card(E)=n(n-1)/2
On pose 1<=a<b<=n-1
donc [tex]P(Y=a)=\sum_{a=1}^{b-1} P(Y=a,X=b) =\sum_{a=1}^{b-1} 2/n(n-1)=2(b-1)/n(n-1)[/tex]

Au passage, une fraction, par exemple (x+2)/(x-3), s'écrit \frac{x+2}{x-3}  soit avec les balises : [tex]\frac{x+2}{x-3}[/tex]
Mon tuto : Code LateX

Dernière modification par yoshi (02-11-2014 19:44:38)

freddy

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Re : variable aléatoire

Tu ne réfléchis pas ... Si Y=b, cela veut dire que b < a <n-1, non ?