Soient $C,D\in\mathbb R$. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par
$$f(x)=\begin{cases}
C\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x>0\\
D\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x<0.
\end{cases}
$$
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $C$ et $D$ pour que $f$ se prolonge
par continuité en $0$.
Démontrer que si cette condition est remplie, ce prolongement, toujours noté $f$, est alors dérivable en $0$ et que $f'$ est continue
en 0.
On considère l'équation différentielle
$$x^2y'-y=0.$$
Résoudre cette équation sur les intervalles $]0,+\infty[$ et $]-\infty,0[$.
Vérifier la dérivabilité à droite et à gauche en 0.
Si $y$ est solution sur $\mathbb R$, elle est solution sur $]0,+\infty[$ et
sur $]-\infty,0[$. On doit recoller les bouts par continuité (et même dérivabilité) en 0.
Il est clair que $\lim_{x\to 0^+}f(x)=0$, indépendamment de la valeur de $C$, et
que $\lim_{x\to 0^-}f(x)=\pm\infty$ si $D\neq 0$, et $\lim_{x\to 0^-}f(x)=0$ si $D=0$.
Ainsi, on a un prolongement continu en $0$ si et seulement si $D=0$. Dans ce cas, on a $f(0)=0$.
On suppose donc que $D=0$. La fonction $f$ étant identiquement nulle à gauche de 0, elle est dérivable à gauche en 0 et sa dérivée est nulle.
Pour $x>0$, on a
$$\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{C}x\exp(-1/x).$$
Posons $u=\frac 1x$. Lorsque $x$ tend vers $0^+$, $u$ tend vers $+\infty$ et
$$\frac{1}x\exp(-1/x)=u\exp(-u).$$
Par comparaison des fonctions polynomes et exponentielle, on en déduit que $\frac{f(x)-f(0)}x$ tend vers 0 lorsque $x$
tend vers $0^+$, et donc $f'$ est dérivable à droite en 0, de dérivée nulle. Ainsi, on a bien que $f$ est dérivable en 0,
avec $f'(0)=0$. La continuité à gauche de $f'$ en 0 ne pose alors pas de problèmes. En ce qui concerne la dérivée à droite, on remarque que,
pour $x>0$, on a
$$f'(x)=\frac C{x^2}\exp(-1/x)=Cu^2\exp(-u)$$
toujours avec le même changement de variables. Comme précédemment, on en tire que $\lim_{x\to 0^+}f'(x)=0$, et
donc que $f'$ est continue en 0.
Sur l'intervalle $]0,+\infty[$, la fonction $x^2$ ne s'annule pas et l'équation est équivalente à
$$y'=\frac1{x^2}y.$$
Les solutions de cette équation sont les fonctions $y(x)=C\exp(-1/x)$, où $C\in \mathbb R$.
La résolution sur l'intervalle $]-\infty,0[$ donne exactement le même ensemble de solutions.
Soit $y$ une solution sur $\mathbb R$. Sa restriction à $]0,+\infty[$ est solution sur $]0,+\infty[$, et donc il
existe une constante $C\in\mathbb R$ telle que, pour tout $x>0$, $y(x)=C\exp(-1/x)$. La restriction de
$y$ à $]-\infty,0[$ est aussi solution sur $]-\infty,0[$, et donc il existe une constante $D\in\mathbb R$ telle que,
pour tout $x<0$, $y(x)=D\exp(-1/x)$. Remarquons ici que $C$ et $D$ n'ont aucune raison d'être égaux. En effet,
les résolutions sur $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$ se font totalement indépendamment.
D'ailleurs, le résultat des premières questions entraîne que, pour que $y$ soit continue en $0$, il est nécessaire que
$D=0$. Dans ce cas, la fonction $y$ est de classe $C^1$, et elle vérifie bien l'équation différentielle : c'est clair pour $x\neq 0$,
et c'est aussi vrai en 0 par continuité de $y$ et $y'$ en 0.
