Forum de mathématiques - Bibm@th.net

htina

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injection

Bonjour,
j'au le problème suivant:
Soit [tex]f:\Omega \to \mathbb{R}[/tex] une fonction localement intégrable, et soit [tex]T_f[/tex] définie par: [tex]\forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega), T(\varphi)=\int_{\Omega} f \varphi[/tex]
j'ai montré que [tex]T_f[/tex] est une distribution.
Ma question est: comment on montre que l'application [tex]T:L^1_{loc}(\Omega) \to \mathcal{D'}(\Omega)[/tex] qui associe [tex]f [/tex] à la distribution [tex]T_f[/tex] définie plus haut, est injective?
Merci d'avance.

Roro

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Re : injection

Bonsoir,

L'application T étant linéaire il te suffit d'étudier son noyau.
As-tu déjà vu que [tex]\mathcal D(\Omega)[/tex] est dense dans[tex] L^1_{\mathrm{loc}}[/tex] ? ça pourrait éventuellement t'aider...

Roro.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : injection

Bonsoir

Indications (pas vraiment détaillées):

- Sans répéter ce qu' a dit Roro à propos de la linéarité  ....
- J'adopte la notation [tex]\mathbb R^d[/tex]  au  lieu  de  [tex]\mathbb R^n[/tex]  pour reserver [tex] n[/tex]  aux  indices ...
Tu peux utliser une approximation de l'unité. une suit [tex](\theta_n)[/tex]  d'éléments de [tex]L^1(\mathbb R^d)[/tex] tel que:
[tex]\bullet  \forall n , \int_{\mathbb R^d}  \theta_n = 1[/tex]
[tex]\bullet  \sup_{n} \|\theta_n\|_1 < +\infty[/tex]
[tex]\bullet  \forall \varepsilon >0 , \lim_{n \to +\infty} \int_{\|x\| > \varepsilon} |\theta_n(t)| dt =0[/tex]

[tex]\langle T_f,\theta_n(x-t) \rangle = 0[/tex]  pour  [tex]x \in K[/tex]  et  [tex]n[/tex]  assez  grand  pour que [tex]t \mapsto \theta_n(x-t)[/tex]  soit à support  dans  [tex]\Omega[/tex]  On  a   [tex]f \star \theta_n =0[/tex]   sur  [tex]K[/tex]   et  [tex]f \star \theta_n[/tex] tends  vers  [tex]f[/tex]  dans [tex]L^1_K[/tex]  ce  qui  donne [tex] f=0.[/tex]

htina

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Re : injection

est-ce qu'il y'a une stratégie à suivre, où l'on utilise pas le produit de convolution?
Pour montrer que [tex]T[/tex] est injective, on montre que [tex]Ker T=\{0\}[/tex] ce qui veut dire que [tex]T(f)=0[/tex] implique que [tex]f[/tex] estr nulle presque partout.
[tex]T(f)=0[/tex] implique que [tex]\displaystyle\int_{\Omega} f \varphi = 0[/tex]
mon problème est de finir le raisonnement.

Fred

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Re : injection

On a bien compris que ton problème était de finir le raisonnement.
Tu vas de toute façon avoir besoin d'une approximation de fonctions pas régulières par des fonctions très régulières, et cela, sans produit de convolution, c'est dur...
Je crois que la méthode de Mohamed est tout à fait bonne, et qu'on fait des distributions, il ne faut pas avoir peur de faire du produit de convolution!!!

htina

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Re : injection

Merci, et merci Mohamed pour cette idée.
J'ai quelques questions s'il vous plaît.
1- comment justifier que [tex]f \star \theta_n[/tex] tend vers [tex]f[/tex] dans [tex]L^1_K[/tex]?
2- pourquoi [tex]f\star \theta_n=0[/tex] sur [tex]K[/tex]; et [tex]f \star \theta_n[/tex] tend vers [tex]f[/tex] dans [tex]L^1_K[/tex] impliquent que [tex]f=0[/tex]?
3- c'est quoi la différence entre une suite régularisante et une approximation de l'unité? et à quoi sert l'utilisation de l'approximation de l'unité?
Merci beaucoup.

htina

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Re : injection

Bonjour,
je vous prie de m'aider à trouver des réponses concernant mon dernier poste. Merci par avance.

Fred

Administrateur

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Re : injection

Bonsoir,

  Concernant tes questions du post 6, les réponses seraient assez longues à donner. Je te conseille de relire ton cours sur la convolution, les suites régularisantes et les approximations de l'unité (ces deux dernières définitions sont presque la même chose, chacun les définit un peu à sa façon).

F.