Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mathieu64

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groupe à 6 éléments

Bonjour,
Je fais un raisonnement pour compter les groupes à 6 éléments, mais j'ai l'impression qu'il y a des étapes non nécessaires.

1) Le groupe est cyclique donc c'est Z/6Z

2) Le groupe est non cyclique. Supposons qu'il existe G un tel groupe, alors d'après le théorème de Cauchy, il admet H un sous-groupe d'ordre 3 et K un sous-groupe d'ordre 2. H et d'indice 2 donc distingué. De plus HnK={e} donc HK=G.
Conclusion: G est isomorphe au produit semi direct H *f K  où pour tout k et h  fk(h)=khk.
On remarque que khk est l'inverse de h car sinon khk=h  est alors le groupe serait abélien donc K serait distingué dans G. Donc G serait isomorphe au produit direct Z/3Z*Z/2Z qui est isomorphe à Z/6Z et on serait revenu dans le cas cyclique.

Pour conclure S3 n'est pas cyclique donc il existe bien un groupe comme dans 2) donc au final il n'y a que S3 et Z/6Z comme groupe à 6 éléments.

Merci d'avance de me dire si certaine étapes ne sont pas nécessaires.
Bonne journée.
Mathieu

Legendre

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Re : groupe à 6 éléments

Salut,

Et l'ensemble des racines sixième de l'unité muni de la multiplication ?

mathieu64

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Re : groupe à 6 éléments

Salut,
Le groupe dont tu parles est isomorphe à Z/6Z, donc on ne le compte pas deux fois.
Mathieu

Fred

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Re : groupe à 6 éléments

Salut,

  Le raisonnement me semble clair et assez concis.

Fred.

mathieu64

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Re : groupe à 6 éléments

Merci Fred, dans pas mal de livre que j'ai regardé j'avais l'impression qu'ils allaient plus vite, mais ils n'avaient peut être pas rédigé toutes les étapes.
MAthieu