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Gon · 01-07-2014 10:26:53

Salut ! J'arrive pas à comprendre un ou deux trucs dans une correction:

Soit n un entier naturel, soit P_n = -1 + x + x² +... + xⁿ Pour tout réel x

Dans le 1°) On a montré grâce au théorème des valeurs intermédiaires que l'équation P_n(x) = 0 admet une solution x_n dans l'intervalle ] 0 , 1 ] Mais il est indiqué que : "P_n (x) est strictement croissante puisqu'elle est dérivable et que P_n'(x) = 1 + 2x +...+nx^n-1 > 0 pour tout x supérieur ou égal à 0. On en déduit que la solution x_n est unique. " Je ne comprends pas pourquoi après avoir calculé la dérivée, on se restreint à [tex]\mathbb{R}^{+} [/tex] alors que P_n est définie pour tout x. Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plait?

Dans le 2°) Il est dit: " On a P_n+1 (x_n) = P_n (x_n) + x_nⁿ⁺¹ = x_nⁿ⁺¹ . " Jusque là ok, mais c'est là que je comprends rien : "Il en résulte que x_n+1 < x_n pour tout n " Je comprends pas du tout ça ! help Please ! :)

Merci d'avance

Fred · 01-07-2014 10:37:07

Salut,

1°) J'imagine que c'est parce que tu veux démontrer que la solution est unique dans l'intervalle [0,1].
Il suffit d'étudier la stricte monotonie sur cet intervalle. D'ailleurs, la solution n'est pas unique sur R, regarde par exemple le cas n=2.

Fred.

Gon · 01-07-2014 11:02:14

"1°) Montrer que l'équation P_n (x) = 0 admet une unique solution positive x_n et que x_n appartient à l'intervalle ]0 ; 1]"

Tu penses que l'énoncé est faux?

Gon · 01-07-2014 11:04:10

Je viens de voir en recopiant le mot "positif"... Je suis trop naze .....

Mais pour le deuxième point de mon premier post j'ai pas compris ça par contre ... :/

Fred · 01-07-2014 12:05:02

Re,

Tu as [tex]P_{n+1}(x_n)>0=P_{n+1}(x_{n+1})[/tex]
De plus, [tex]P_{n+1}[/tex] est strictement croissante...

Fred.

Gon · 01-07-2014 13:31:03

Thanks !!

Gon · 01-07-2014 14:15:28

Et juste, c'est marqué "On a P_n (1/2) = -1/2ⁿ donc P_n ( [tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{n}}[/tex] ) >0

je comprends pas ... S'il te plait...

Fred · 01-07-2014 21:40:22

Disons
[tex]
\begin{eqnarray*}
P_n(\frac 12+\frac{1}{2^n})&=&-1+\left(\frac 12+\frac 1{2^n}\right)+\dots+\left(\frac 12+\frac 1{2^n}\right)^n\\
&\geq &-1+\frac 12+\frac 1{2^n}+\dots+\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(\frac {1}{2^n}\right)^n \\
&\geq &P_n(\frac 12)+\frac{1}{2^n}+\dots+\left(\frac{1}{2^n}\right)^n\\
&>&0.
\end{eqnarray*}
[/tex]

La seule chose qu'on utilise alors est [tex]\left(\frac 12+\frac 1{2^n}\right)^p\geq \left(\frac 12\right)^p+\left(\frac{1}{2^n}\right)^p[/tex]

Gon · 03-07-2014 10:46:33

Merci beaucoup.

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#1 01-07-2014 10:26:53

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