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JeanPaul

Invité

Re : Exercies sur Z/NZ

Pour les puissances je les fais disons normalement avec 7^2 = 49 puis j'utilise bezout?
ou je me trompe sur ce point et ma methode n'est pas la bonne?
Je n'ai pas trouvé de generateur donc je me pose la question.
Cordialement

Fred

Administrateur

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Re : Exercies sur Z/NZ

Pourquoi Bezout????
La division euclidienne tu veux dire???

7^2=49=4*12+1, donc 7^2=1, et 7 n'est effectivement pas un générateur...

JeanPaul

Invité

Re : Exercies sur Z/NZ

11^1 =11 / 11^2 = 121 = 12*10 +1 / 11^3 =1331 = 1320+11 / 11^4 = 14641 =14640+1
7^1 = 7 / 7^2 =49 = 4*12+1 / 7^3 = 343 =12*28 + 7
5^1 = 5 / 5^2 =25 =2*12+1 / 5^3 = 125 =12*10+5
1^1 =1 /1^2 =1 etc
Cette demonstration est suffisante pour montrer qu'il ny' a pas de générateur? (en supposant que j'ai raison sur ce point.)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercies sur Z/NZ

Salut,

5²=1, 7²=1, 11² =1 suffisent puisque, avec [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] :
[tex]5^2 = 1[/tex], donc [tex] 5^4 = \left(5^2\right)^2 = 1^2 = 1[/tex]

Et donc tu peux dire que [tex]5^{2k}=  \left(5^2\right)^k = 1^k = 1[/tex]
Et donc que [tex]5^{2k+1}=  \left(5^2\right)^k \times 5= 1 \times 5 = 5[/tex]
Idem pour 7 et 11.
C'est donc toujours vrai...
Fred t'a donné une définition d'un générateur, voici un lien déjà donné :
http://www.math.polytechnique.fr/~harin … Groupe.pdf p.2

@+

Dernière modification par yoshi (18-06-2014 10:20:03)

JeanPaul

Invité

Re : Exercies sur Z/NZ

Je ne l'avais pas vu sous cet angle, pourtant simple mais ça pose bien les bases pour le correcteur.
:)
Pour la 5 et 6 je pense voir comment faire mais pas comment le formuler?
Je pensais raisonner par l'absurde, est ce un bon choix?
(de même pour la 7)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercies sur Z/NZ

RE,

J'avais légèrement modifié mon texte entretemps et remis un lien...

5) Montrer que l'equation 6x=1 n'a pas de solution dans Z/12Z (On pour remarquer que si x est solution alors c'est un inverse de 6)

La réponse figure à la question 2.
Il faut donc que 6 ait un inverse, c'est à dire qu'il soit inversible, et la liste des éléments inversibles figure au 2.

6) Montrer que 6x =5 n'a pas de solution dans  x appartenant à  Z/12Z

Le tableau de freddy (colonne 6) montre que l'on peut avoir que 6x =0 ou 6x =6.
Sans tableau, on prend [tex]k \in \{0,1,2,3,4,5\}[/tex]
Et on étudie 2 cas :
x = 2k 
6x = 12k =0 [12]
et
x = 2k+1
6(2k+1)= 12k + 6 = 0 + 6 = 0 [12]
jamais 5...

7) Les équations suivantes possédent-elles une solution x appartient à Z/12Z  ? Si oui laquelle ou lesquelles, justifier chaque réponse)
=> 3x =1 / 7x=3 /10x =0 / 3x =7 / 7x =5 / 10x=2

Si 3x = 1 alors x est un inverse de 3. voir Q6

10x = 5 revient à résoudre 5x=1.

Pour les autres, pour avoir une idée de la réponse (c'est toujours préférable) ==> tableau de freddy.
Après, c'est simple.
Si 3x = 7 alors 12x = 28  = 4 ... [12] possible ou pas ?
Si 7x = 3 alors 28x = 12 = 0 [12]  [tex]\Rightarrow[/tex] 4x = 0 [12]... possible ou pas ? (vérifie !)

@+

JeanPaul

Invité

Re : Exercies sur Z/NZ

je trouve donc seulement une réponse pour 10x =2 avec 10*5 =50 / -12*4 =2
Et 10x=0 avec x =6 10*6 =60 / -12*5 =0
Pour les autres j'ai fait : k appartient à {0,1,2} x=4k 3x= 12k reste 0 / x=4k+1 3(4k+1) = 12k+3 reste 3
il ny'a pas 1 ou 7
et pour 7 j'ai fait 7*1 =1 7*2 = 2 7*3 = 9 7*4 = 4 7*5 = 11 7*6 =6 7*7 = 1
Il ny'a pas 3 ou 5

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercies sur Z/NZ

Salut,

Pfffiou... quelle présentation ! Un de ces jours tu vas t'y paumer toi-même !
Le problème  du / c'est que c'est un symbole de division pas un séparateur...
Préférable est :
10*5 = 50 ; 50-12*4 = 2. Non ?
Et j'espère que chez toi, tu as élaboré un raisonnement pour trouver x = 5, pas seulement :
"j'ai eu une illumination : 5 s'est imposé à moi, et d'ailleurs c'est bien une solution, la preuve : (...)"

10x=0 avec x =6 10*6 =60 / -12*5 =0

Et x = 0 ?

Pour les autres j'ai fait : k appartient à {0,1,2} x=4k 3x= 12k reste 0 / x=4k+1 3(4k+1) = 12k+3 reste 3

les autres  = lesquels ?
Pourquoi seulement [tex]k \in \{0,1,2\}[/tex] ? parce qu'alors [tex]4k \in \{0,4,8\}[/tex]... Et 1,2,3,5,6,7,9,10,11, pourquoi tu les vires de ton étude ?

et pour 7 j'ai fait 7*1 =1 ; 7*2 = 2  ; 7*3 = 9 ; 7*4 = 4 ; 7*5 = 11 ; 7*6 = 6 ; 7*7 = 1

D'accord, à part le 7 * 1 = 1...
Et 7*8 ? ; 7 * 9 ? ; 7 * 10 ? ; 7 * 11 ?

J'ai beau tout repasser au crible, je ne vois pas le rapport entre ton post ci-dessus et mon post précédent #31... Je me trompe ?

@+

JeanPaul

Invité

Re : Exercies sur Z/NZ

J'ai donc refait tout ça, finalement j'ai
(a) pas de solution (b) pas de solution
(c) Solution : x=9 (d) Solution : x=11
(e) Solution : x=(0,6) (f) Solution : x=(5,11)