Forum de mathématiques - Bibm@th.net

amatheur

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somme

salut les amis
Es ce que quelqu'un connaitrait une formule pour calculer la somme finie:   [tex] \sum_{k=0}^n {x}^{k^2} [/tex]

Merci.

Dernière modification par amatheur (09-06-2014 22:04:35)

pipo

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Re : somme

Voila ce que j'ai trouvé
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+% … 28k%5E2%29

amatheur

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Re : somme

salut
merci pipo, en fait wolfram a mal interprété ta formule, ce n'est pas [tex]x[/tex] la variable, mais c'est k.., il faut lui dire ça:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+% … ^%28k^2%29
@+

totomm

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Re : somme

Bonjour,

Sans être plus attrayant ni plus utile :

[tex] \sum_{k=0}^n {x}^{k^2} = (1+x(1+x^3(1+x^5(....(1+x^{2n-1})))...) [/tex]     avec n parenthèses fermantes

amatheur

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Re : somme

re
merci pour la formule totomm, c'est vraie qu'elle ne m'a pas aidé, mais peut être, elle pourrait servir à créer un algorithme qui calculerait la somme de manière plus rapide?

En fait le problème que j'ai sous les mains, depuis quelques semaines déjà, est les belles égalités ci-dessous, j’essaie d'établir une preuve sans utiliser le raisonnement par récurrence, j'ai tenté de combiner les deux égalités pour travailler sur les complexes, mais je tombe sur une somme voisine à celle que j'ai présenté au post #1, alors je sollicite un petit coup de pouce pour me débloquer s'il vous plaît.

[tex]\sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k^2\pi}{n}[/tex][tex]=[/tex][tex]\frac{\sqrt{n}}{2}\left(\cos\frac{n\pi}{2}-\sin\frac{n\pi}{2}+1\right)[/tex]
[tex]\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k^2\pi}{n}[/tex][tex]=[/tex][tex]\frac{\sqrt{n}}{2}\left(\cos\frac{n\pi}{2}+\sin\frac{n\pi}{2}+1\right)[/tex]

Merci.

totomm

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Re : somme

Bonjour,

J'ai un peu regardé pour quelques premières valeurs de n, mais je n'ai pas trouvé de démonstration ...
Pourtant si on place sur le cercle trigonométrique les points [tex]A_0\ à\ A_{n-1}[/tex] qui divisent le cercle en n secteurs, on voit que le premier membre en somme de cos() correspond à sélectionner successivement les points [tex]A_i\ depuis\ A_0[/tex] en avançant de 1 pas, puis de 3, puis de 5,...puis de (2n-3).
Si alors on regarde la suite des  n valeurs i, c'est la congruence des [tex]k^2\ modulo\ n[/tex] avec des symétries assez remarquables.
D'où un calcul (et un contrôle) de chacun des membres des équations très rapide. Mais je ne sais aller plus avant.

Avez-vous plus de résultat ?

Dernière modification par totomm (13-06-2014 18:00:02)

amatheur

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Re : somme

bonjour,
toujours à la quette d'une démonstration, j'ai tenté d'exprimer la fonction sinus sous forme d'une série entière et voici ce que ça donne:
on sait que : [tex]\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[/tex]
alors la première somme donne:

[tex]\sum_{k=0}^{p-1}\sin\frac{2k^2\pi}{p} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\frac{2\pi}{p})^{2n+1}({\sum_{k=0}^{p-1}k^{4n+2}})[/tex]

ensuite on injecte l'identité suivante dans la relation précédente:

[tex]\sum_{k=0}^{p-1}k^{4n+2}= \frac{B_{4n+3}(p)-B_{4n+3}(0)}{4n+3}[/tex]
[tex]B_{4n+3}[/tex] étant les nombres de Bernoulli

mais, le résultats final est de manipulation délicate...

amatheur

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Re : somme

salut
apparement ce n'est pas de la tarte :)
http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_Gauss_sum

@+