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#1 26-05-2014 01:30:55
- Issouf
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équation intégrale
bonjour,
svp j'ai besoin d'aide pour résoudre ces équations:
trouver l'ensemble des fonctions sur |R telles que:
[tex]f(x)-\int_0^x(x-t)f(t)dt=x²[/tex] (E)
et
[tex]f(x).f(y)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt[/tex]
Dernière modification par Issouf (26-05-2014 03:00:12)
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#2 26-05-2014 05:54:18
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : équation intégrale
Bonjour,
Pour la première équation, dérive la relation, tu trouveras une équation différentielle vérifiée par [tex]f[/tex].
Pour la seconde, la méthode est sans doute similiaire : dérive par rapport à une des deux variables, disons x, puis choisit par exemple y=0. Tu trouveras là aussi une équation différentielle...
Fred.
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#3 26-05-2014 08:22:57
- Issouf
- Membre
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- Messages : 11
Re : équation intégrale
Merci Fred :)
Mais j 'ai toujours des problèmes :p
pour le premier je trouve [tex]f(x)=x^2+k[/tex]
mais ça ne vérifie pas l'équation lorsque je remplace [tex]f[/tex] par sa valeur
quant à la 2ème équation, je trouve[tex]f'(x)*f(y)=f(x+y)-f(x-y)[/tex]
ce qui ne me donne pas grand chose à part le fait que [tex]f(0)=0[/tex] et que f est paire
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#4 26-05-2014 15:30:42
- Roro
- Membre expert
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Re : équation intégrale
Bonjour,
Pour la première, tu n'aurais pas fait une erreur en dérivant l'intégrale (il doit y avaoir deux morceaux, dont l'un est nul mais pas l'autre...) ?
Pour la seconde, as-tu essayé de faire y=0 comme le disait Fred ?
Roro.
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#6 26-05-2014 16:56:16
- Fred
- Administrateur
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Re : équation intégrale
J'ai essayé de faire des calculs pour résoudre l'exercice.
Je te conseille plutôt de dériver deux fois par rapport à x, puis de reprendre l'équation et de dériver deux fois par rapport à y.
Sous réserve d'erreurs, on doit trouver
[tex]f(x)f''(y)=f''(x)f(y)[/tex]
Tu fais ensuite y=qqch, et tu as vraiment une relation entre f''(x) et f(x)...
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#8 27-05-2014 09:13:24
- totomm
- Membre
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Re : équation intégrale
Bonjour,
quand une aide a été demandée et une discussion engagée,
Il serait bien et instructif surement pour les visiteurs de voir une solution publiée à la fin des interventions...
Ce petit effort serait le meilleur des remerciements...
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#9 27-05-2014 09:33:33
- freddy
- Membre chevronné
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- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : équation intégrale
Bonjour,
quand une aide a été demandée et une discussion engagée,
Il serait bien et instructif surement pour les visiteurs de voir une solution publiée à la fin des interventions...
Ce petit effort serait le meilleur des remerciements...
1.000 fois d'accord !
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#10 01-06-2014 18:37:54
- totomm
- Membre
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Re : équation intégrale
Bonsoir,
Pour : [tex]f(x)-\int_0^x(x-t)f(t)dt=x²[/tex]
Je donne ma solution obtenue par intégrations directes successives
Partant de [tex]f(x)=x^2[/tex] au voisinage de zéro. on obtient [tex]f(x)=2(cosh(x)-1)[/tex]
(les intégrations donnent un développement en série de rayon de convergence infini, d'où le cosinus hyperbolique)
Je peux détailler si demandé...
totomm
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#11 01-06-2014 22:19:37
- totomm
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Re : équation intégrale
Re-bonsoir,
Pour : [tex]f(x).f(y)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt[/tex]
J'ai choisi non pas y=0 mais y=x
D'où [tex](f(x))^2=\int_{0}^{2x}f(t)dt [/tex]
En dérivant une fois : [tex]2f\ '(x).f(x)=f(2x)[/tex] et immédiatement [tex]f(x) = sin(2x)[/tex]
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#12 02-06-2014 09:14:33
- totomm
- Membre
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Re : équation intégrale
Bonjour,
Un résultat supplémentaire, car je m'étais trompé de signe au début de ma recherche :
Pour : [tex]f(x)+\int_0^x(x-t)f(t)dt=x²[/tex]
le résultat est [tex]f(x)=2(1-cos(x))[/tex]
Par intégrations successives directes à partir de [tex]f(x)=x^2[/tex], car dériver l'intégrale définie est délicat quand x, une des bornes de l'intégrale, figure dans les facteurs à intégrer.
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#15 04-06-2014 11:41:41
- totomm
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Re : équation intégrale
Bonjour,
@ Issouf : J'ai donné une solution (et sa méthode) en post #10 parce que vous tardiez à donner la vôtre : Quelle méthode avez-vous employée pour aboutir à [tex]f(x)=2(cosh(x)-1)[/tex] ?
Quant au résultat du post #11, vous semblez contester que [tex]f(x)=sin(2x)[/tex] pour [tex]f(x).f(y)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt[/tex] :
Pourtant vous ne pouvez contester que :
[tex] \int_{x-y}^{x+y} sin(2t)dt = sin(2x).sin(2y)[/tex] Alors ?
Edit : en dérivant une fois au post #11, j'ai tenu compte du résultat donné au post #3
à savoir [tex]f(0)=0[/tex] (même si je pensais que f(x) était impaire et non paire )
Dernière modification par totomm (04-06-2014 12:14:46)
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#16 07-06-2014 16:50:36
- Issouf
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Re : équation intégrale
bonsoir
#totomm
désolé, je pense k je vérifiais plutôt avec [tex]sin(x)[/tex] et non [tex]sin(2x)[/tex]
merci pour la remarque :)
Mais pourquoi on aboutit pas à ce résultat avec l'autre méthode?
les fonctions sont complètement différentes..........
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#17 07-06-2014 17:53:13
- totomm
- Membre
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- Messages : 1 093
Re : équation intégrale
Bonsoir,
Mais pourquoi on n'aboutit pas à ce résultat avec l'autre méthode?
les fonctions sont complètement différentes..........
quelles sont les fonctions trouvées avec l'autre méthode ? A+ :-))
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