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rachidorov

Invité

suite réccurente linéaire d'ordre p

Salut;
s'il vous plait ,
j'ai rencontrer des problémes pour detérminer le teme général d'une suite récurrente linaire d'ordre deux en utilisant une suite géométrique :
le probleme que j'arrive pas à résoudre est le suivant  :
"dans la démonstration ils ont utiliser le faite que s'il existe une suite géométrique (U_n) de l'ensenble  {U_n+2=a.U_n+1  +b.U/a,b £IR} dans le terme générale r  vérifie l'equation ccaractéristique:  x²-a.x-b=0 
alors  rⁿ le vérifier aussi ...

POURQUOI? c'est ça le problème

Merci pour votre Aide

freddy

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Re : suite réccurente linéaire d'ordre p

Salut,

si [tex]u_n=r^n[/tex] est solution, alors elle vérifie [tex] r^{n+2}=ar^{n+1}+br^n[/tex]

Voilà pourquoi !

Dernière modification par freddy (05-06-2014 04:49:43)

totomm

Membre

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Re : suite réccurente linéaire d'ordre p

Bonjour,

Je peux expliciter plus "concrètement" pour l'ordre 2, mais la théorie "moderne" est bien plus générale et plus puissante.

Ayant [tex]U_{n+2}=aU_{n+1}+bU_n[/tex] On crée [tex]S = \sum_{n=0}^\infty {U_nx^n}[/tex] alors :
[tex]S(1-ax-bx^2)=U_0+( U_1 -aU_0)x[/tex] soit [tex]S=\frac{U_0+( U_1 -aU_0)x }{ 1-ax-bx^2}[/tex]

Si [tex]\rho_1\ et\ \rho_2[/tex] sont les racines de [tex]1-ax-bx^2[/tex]
alors leurs inverses [tex]r_1\ et\ r_2[/tex] sont les racines de l'équation caractéristique [tex]X^2-aX-b[/tex]
et  [tex](1-r_1x)(1-r_2x)= 1-ax-bx^2[/tex]

On met S sous la forme [tex]\frac{\alpha_1}{1-r_1x} + \frac{\alpha_2}{1-r_2x}[/tex]

Et on transforme les  [tex]\frac{\alpha}{1-rx}=\sum_{n=0}^\infty {\alpha r^nx^n}[/tex]

Il n'y a plus qu'à identifier les coefficients de [tex]x^n\ d'où\ U_n = \alpha_1r_1^n+\alpha_2r_2^n[/tex]

Sauf erreurs...