Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Helpy

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DM de maths sur les suites

Bonjour,

J'ai un DM en maths que j'ai bien avancé mais je coince à un niveau.

Il s'agit d 'un triangle équilatéral F0
Pour obtenir chaque figure , on divise en trois chaque coté de F0 et on forme avec le segment central, un triangle équilatéral ( dont le coté mesure (longueur du côté de F0 / 3 ) pour chaque côté de F0 . ensuite on supprime le segment central pour chaque coté de F0, formant ainsi F1.

comme l'aire d'un triangle équilatéral est x^2 * sqrt(3)/4
ainsi, a(0) (aire de F0) = sqrt(3)/4 car c(0)=1 et a(1) = sqrt(3)/3

J'ai démontré que a(n+1)-a(n)= 3*sqrt(3)/16  * (4/9)^n+1

Ensuite, on me demande de calculer de 2 façons différentes: ( a(n)-a(n-1)) + (a(n-1)-a(n-2)) + ... + (a(1)-a(0))

Je suis pas sure mais j'ai trouvé 1ère façon: (n+1)(a(n)-a(n-1)) ( Je suis presque sure que c'est faux)
or a(n)-a(n-1) = a(n+1)-a(n)=3*sqrt(3)/16 * (4/9)^n+1 ce qui donne (n+1)*(3*sqrt(3)/16 * (4/9)^n+1)

2e façon : a(n)-(a(0) = a(n) - sqrt(3)/4
je dois en déduire une expression de a(n) en fonction de n
a(n) = ((n+1)*(3*sqrt(3)/16 * (4/9)^n+1)) - sqrt(3)/4

Mais quand je calcule a(1) (ou a avec toutes autres valeurs), le résultat est différent avec cette expression donc je me suis gourée mais je sais pas où ni comment .

Un peu d'aide !?
Merci d'avance.

Au cas où je sois pas très claire : En fait , aire d'une figure = aire de la figure précédente + le nombre de coté de la figure précédente *  (mesure du coté de la nouvelle figure)^2 * sqrt(3)/4
à la base on a un triangle équilatéral de coté 1 et d'aire sqrt(3)/4. pour la nouvelle figure, on garde la première mais sur chaque coté, on ajoute un triangle équilatéral de coté 1/3
pour la figure suivante, on garde celle précédant mais su chaque coté( 12cette fois) on ajoute un triangle équilatéral de coté 1/9
( j'ai prouvé que coté(n)=3*4^n  et longueur(n)= (1/3)^n

Donc mon problème est au niveau de l'expression a(n) en fonction de n
       
Merci énormément pour toute personne qui peut m'aider!

yoshi

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Re : DM de maths sur les suites

Bonsoir,

En fait j'ai des difficultés à construire ton dessin....

Pour obtenir chaque figure , on divise en trois chaque coté de F0

Jusque là, ça va. Après ça se gâte : ton expression segment central est incorrecte ou tu n'as pas tout dit.
Donnons des noms pour être clairs...
Donc, j'appelle ABC le triangle équilatéral F0.
Je partage le segment [AB] en 3 parties égales que j'appelle en allant de A vers B, respectivement A₁ et A₂.
Je partage le segment [BC] en 3 parties égales que j'appelle en allant de B vers C, respectivement B₁ et B₂.
Je partage le segment [CA] en 3 parties égales que j'appelle en allant de C vers A, respectivement C₁ et C₂
Comment se nomme ton "segment central ? ton triangle équilatéral F₁ ?

Autre point
Si le côté d'un triangle équilatéral mesure a, sa hauteur mesure [tex]a\frac{\sqrt 3}{2}[/tex]
Donc l'aire du triangle équilatéral de côté a est [tex]a^2\frac{\sqrt 3}{2}[/tex]  et non [tex]a^2\frac{\sqrt 3}{4}[/tex].
[tex]\cos\frac{\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt 3}{2}[/tex]

Si tu mettais un dessin ou ton énoncé, le vrai (pas ce que tu as écrit), ce serait encore mieux.
Méthode pour poster un dessin :

1. D'abord en faire une image (si tu ne veux pas refaire ton schéma) via un scanner.
2. L'enregistrer en .jpg ou .png sur ton disque dur. Si l'article n'est pas en couleur, veille à le stocker en N&B.
    Pour affichage à l'écran, une résolution de l'image de l'ordre de 150 points par pouce (dpi) est suffisante.
3. Choisis un hébergeur d'images : casimages.com, imageshack.us, hiboox.fr...
    Connecte-toi  : il te faut transférer (uploader) cette image chez cet hébergeur.
4. Chez casimages il y a le bouton Parcourir : recherche avec l'image sur ton disque, sélectionne-la et valide ton choix.
5. En bas de page se trouve la mention Affichage pour un forum et un lien y figure, tu copies la partie du lien comprise entre les balises img et /img, balises et crochets inclus, et tu déposes ce code où tu veux dans ton message.

Les hébergeurs autres que casimages font usage d'une procédure sinon identique du moins très voisine...

@+

[EDIT]oubli de la division par 2 !!!
On a donc bien [tex]\frac{a^2\sqrt 3}{4}[/tex]  et non tex]\frac{a^2\sqrt 3}{4}[/tex]

totomm

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Re : DM de maths sur les suites

Bonsoir,

ainsi, a(0) (aire de F0) = sqrt(3)/4 car c(0)=1 et a(1) = sqrt(3)/3

ce qui amène à penser que le triangle F0 doit évoluer en flocon de Koch ,
voir 2ème paragraphe de http://fr.wikipedia.org/wiki/Flocon_de_Koch

(Je laisse la suite à yoshi)

Helpy

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Re : DM de maths sur les suites

oui en effet il s'agit des flocons de Koch . Par conséquent avec c= nombre de côté, l= longueur et a= aire, j'ai trouvé que c(n)=3*4^n  et l(n)=(1/3)^n

Pour l'équation, je crois que (a(n)-a(n-1)) + (a(n-1)-a(n-2)) + ... + (a(1)-a(0)) est bien égal à a(n)-a(0) =a(n)-sqrt(3)/4 mais aussi
((3sqrt(3)/16 * (4/9)^n) + (3sqrt(3)/16 * (4/9)^(n-1)) + ... +  (3sqrt(3)/16 * (4/9)^1))    car (n+1)-a(n)= 3*sqrt(3)/16  * (4/9)^(n+1)

donc j'ai pensé à utiliser la formule S= u(0)* ((1-q^(n+1))/(1-q)) avec S= 3sqrt(3)/16 *(1-(4/9)^(n+1))*(9/5)  mais ... ça marche pas...

Helpy

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Re : DM de maths sur les suites

Je suis sure que l'aire d'un triangle équilatéral de côté x est x^2 * sqrt(3)/4
(http://www.comment-calculer.net/aire-du … ateral.php)

flocon de Koch
http://www.google.cm/imgres?imgurl=http … =0&ndsp=14

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM de maths sur les suites

Bonsoir,

Quitte à passer pour un imbécile, au point où j'en suis, un peu plus, un peu moins...
Merci.
Donc, je viens de comprendre ce qu'est le segment médian.
Avec mes notations : les segments médians ne sont autres que [A₁A₂],[B₁B₂] et [C₁C₂] !!!..

.
F0 est la figure de gauche et F1 celle de droite.
Je présume que a0 est l'aire de F₀, a₁ celle de F₁... a_n celle de F_n...
Pas précisé dans la bouillie pour les chats qui fait office d'énoncé...
Chacun des des côtés des 3 petits triangles équilatéraux de F1 a un côté qui mesure 1/3 du côté de F0 lequel vaut 1 donc puisque [tex]c(0)= 1[/tex] (encore une notation que l'on devine mais qui n'est pas explicitée !) [tex]c(1)=\frac 1 3[/tex]
Chacune des hauteurs h() mesure donc [tex]\frac 1 3[/tex] de la précédente.
a(0) aire de F0 : [tex]a(0)=\frac{\frac{\sqrt 3}{2}}{2}=\frac{\sqrt 3 }{4}[/tex]
h(0) hauteur de F0, h(1) chacune des hauteurs des petits triangles équilatéraux de F1.

[tex]h(0)= \frac{\sqrt 3}{2}[/tex]  alors hauteur h(1)des 3 petits triangles : [tex]h(1)=\frac 1 3 \times  \frac{\sqrt 3}{2} =\frac{\sqrt 3}{6}[/tex]

Oui, j'avais oublié de diviser par 2. Il ne t'est pas venu à l'esprit qu'on puisse oublier quelque chose ?
Félicitations alors pour ton infaillibilité !
D'où aire des 3 petits triangles : [tex]\frac{\frac 1 3 \times\frac{\sqrt 3}{6}}{2}\times 3[/tex]
Chaque aire d'un  petit triangle est les 1/9 du grand et comme il y en a 3 on passe à 1/3 d'où [tex]\frac{\sqrt 3}{12}[/tex]
[tex]a(1)=\frac{\sqrt 3}{4}+\frac{\sqrt 3}{12}=\frac{\sqrt 3}{3}[/tex]
C'est juste...

A partir de l'étape 1, les segments médians disparaissent, sur chaque côté, se greffe donc un triangle (sans base) et le nombre de côtés est multiplié par 4 : 12 côtés dans notre figure et chacun donnera naissance à 1 triangle plus petit donc 12 triangles (avec base effacée)...
Chaque côté donne naissance à un triangle dont l'aire est 1/9 d'un triangle précédent.

Je reprendrai demain parce que ce soir, je ne suis plus bon à rien...

@+

Helpy

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Re : DM de maths sur les suites

Merci déjà.

yoshi

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Re : DM de maths sur les suites

Bonjour,

Bon, dissipons les nuées.
A partir de l'étape 1, et à chaque étape, chaque côté de l'étape preécédente sera "remplacé" par 4 côtés et 1 triangle :

_____ --> __/\__
On aura donc depuis le départ :
Côtés :             3    12     48     192 ....
Triangles crées : 1     3     12       48  ....
Soit
- à l'étape 1  :  [tex]3\times 4^0  =  \,3[/tex] triangles
- à l'étape 2  :  [tex]3\times 4^1  = 12[/tex] triangles
- à l'étape 3  :  [tex]3\times 4^2  = 48[/tex] triangles
.......................................................................
- à l'étape n  : [tex]3\times 4^{n-1} \quad\quad [/tex] triangles

A partir de l'étape 1 chaque nouveau triangle est déduit d'un triangle de l'étape précédente par application d'un coefficient de réduction k= [tex]\frac 1 3[/tex], soit pour les aires [tex]k^2 =\frac 1 9[/tex]

Pour simplifier l'écriture, comme souvent en pareil cas, supposons que l'aire de F0 soit 1 que je noterai f0...
f1 : Aire = [tex]1 + \frac  1 9 \times 3 = 1+\frac{3\times 4^0}{9} [/tex].

f2 : Aire = [tex]1 + \frac 1 9 \times (3\times 4^0) + \frac 1 9 \times \frac 1 9 \times (3 \times 4^1)=1+\frac{3\times 4^0}{9}+\frac{3 \times 4^1}{9^2}[/tex]

f3 : Aire = [tex]1 + \frac 1 9 \times (3\times 4^0) + \frac 1 9 \times \frac 1 9 \times (3 \times 4^1)+\frac 1 9 \times \frac 1 9 \times \frac 1 9 \times (3 \times 4^2) = 1+\frac{3\times 4^0}{9}+\frac{3 \times 4^1}{9^2}+\frac{3\times 4^2}{9^3}[/tex]

fn : Aire = [tex]1+\frac{3\times 4^0}{9}+\frac{3 \times 4^1}{9^2}+\frac{3\times 4^2}{9^3}+\cdots +\frac{3\times 4^{n-1}}{9^n} [/tex]

L'aire de départ F0 n'étant pas 1 mais [tex]\frac{\sqrt 3}{4}[/tex]  il ne faut pas oublier de rectifier le résultat final...
F_n [tex]a_n=: \frac{\sqrt 3}{4}\left[1+\frac 3 4\left(\frac{4^1}{9^1}+\frac{4^2}{9^2}+\frac{4^3}{9^3}+\cdots+\frac{4^n}{9^n}\right)\right][/tex]

N-B l'écriture est plus simple si on écrit ça avec le symbole [tex]\sum[/tex]

Dans la parenthèse : suite géométrique de 1er terme 4/9 et de raison 4/9 avec n termes (on pourrait encore mettre 4/9 en facteur et le 1er terme serait 1, mais avec le facteur 4/9 cela ne change pas le calcul...)

A partir de là tu calcules la somme puis tu fais [tex]a_{n+1}-a_n[/tex] à partir de l'écriture de cette somme, soit tu constates que
[tex]a_{n+1}-a_n[/tex] à partir de l'écriture précédente est : [tex]\frac{3\sqrt 3}{4}\times \frac{4^n}{9^{n+1}}[/tex]

Que je vais simplifier ainsi
[tex]\frac{3\sqrt 3}{4}\times \frac{4^n}{9^{n+1}}=\frac{3\sqrt 3}{2^2}\times \frac{2^{2n}}{3^{2n+2}}=\frac{2^{2n-2}}{3^{2n+1}}\sqrt 3[/tex]

Si n=0 alors, avec les calculs faits de [tex]a_1[/tex] et [tex]a_0[/tex], alors [tex]a_1-a_0 = \frac{\sqrt 3}{12}[/tex] si j'utilise la formule précédente  : [tex]\frac{2^{-2}\sqrt 3}{3^1}=\frac{\sqrt 3}{4\times 3}=\frac{\sqrt 3}{12}[/tex]
J'ai vérifié aussi pour a2-a1...
Sinon, oui  [tex](a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_1-a_0)=a_n-a_0[/tex]

Je me suis calé sur ce que tu as pu calculer, puisque les questions exactes ne sont pas mentionnées...
Dois-tu aussi calculer l'aire limite ?

@+

Dernière modification par yoshi (04-05-2014 09:10:27)

Helpy

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Re : DM de maths sur les suites

Merci beaucoup

mais le problème c'est que d'après mon prof,

je dois calculer (a(n)-a(n-1)) + (a(n-1)-a(n-2)) + ... + (a(1)-a(0)) * de 2 façons différentes, 
*en déduire une expression de n  mais surtout apparemment                                                           
* je dois utiliser l'expression [tex]a(n+1)-a(n)= \frac {3\sqrt{3}}{16}\times   \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}[/tex]
Si j'étais pas obligée de l'utiliser, ce serait beaucoup plus facile

donc mon problème c'est de trouver une 2e façon de calculer (a(n)-a(n-1)) + (a(n-1)-a(n-2)) + ... + (a(1)-a(0)) sachant que j'ai déjà trouvé la 1ère a(n) - a(0) = a(n) - sqrt(3)/4

Mais je dois TOUJOURS m'aider de a(n+1)-a(n)= 3*sqrt(3)/16  * (4/9)^(n+1)

J'ai déjà utilisé l'expression d'une somme avec S = u(0) * (1-q^(n+1))/(1-q)   et j'ai trouvé 3sqrt(3)/16 *(1-(4/9)^n)*(9/5)  et donc                     a(n) serait égal à 3sqrt(3)/16 *(1-(4/9)^n)*(9/5) + sqrt(3)/4        MAIS ça marche pas
Un peu d'aide ?

Dernière modification par yoshi (04-05-2014 12:04:55)

yoshi

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Re : DM de maths sur les suites

Re,

Tu sais quoi, Helpy, ça serait quand même plus simple à lire pour tes helpers, si t'essayais le codage LaTex
Ça c'est la version qui ne demande aucun pré-requis si ce n'est te creuser (un petit peu) la cervelle... J'ai mis un exemple dans ton post de ce codage "fait main".
Sinon, si Java est installé sur ta machine tu peux utiliser notre éditeur de formules mathématiques en cliquant sur Insérer une équation : un petit fichier d'aide en pdf sera dispo.

Bon, désolé si je ne vois pas très pas très clair dans tes obligations...

Alors, hmmmm.... :
avec [tex]a(n+1)-a(n)= \frac {3\sqrt{3}}{16}\times   \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}[/tex]
si j'écris
[tex]a(n)-a(n-1) = \frac {3\sqrt{3}}{16}\times   \left(\frac{4}{9}\right)^{n}[/tex]
[tex]a(n-2)-a(n-3) =  \frac {3\sqrt{3}}{16}\times   \left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}[/tex]
.................................

[tex]a(2)-a(1)= \frac {3\sqrt{3}}{16}\times   \left(\frac{4}{9}\right)^{2}[/tex]
[tex]a(1)-a(0)= \frac {3\sqrt{3}}{16}\times   \left(\frac{4}{9}\right)^{1}\ ;\left( \frac {3\sqrt{3}}{16}\times \frac{4}{9}=\frac{\sqrt 3}{12}\right)[/tex]

Si j'ajoute le tout en remontant, je trouve pour [tex](a(n)-a(n-1)+\cdots+(a(2)-a(1))+(a(1)-a(0))[/tex]
[tex]\frac {3\sqrt{3}}{16}\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^2\cdots+\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}+\left(\frac{4}{9}\right)^{n}\right]=\frac {3\sqrt{3}}{16}\times \frac{4}{9}\left[1+\frac 4 9+\cdots+\left(\frac{4}{9}\right)^{n-2}+\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\right][/tex]}
[tex]= \frac{\sqrt 3}{12}\times \left[\dfrac{\;\;\;1-\left(\frac{4}{9}\right)^{n}}{1-\frac 4 9}\right][/tex]

q étant la raison et nb le nb de termes :
Somme = 1er terme [tex]\times \frac{\;\;1-q^{nb}}{1-q}[/tex]
si n=1 alors [tex]a(n)-a(0)= a(1)-a(0) = \frac{\sqrt 3}{12}\times \left[\dfrac{\;\;\;1-\left(\frac{4}{9}\right)^{1}}{1-\frac 4 9}\right] =\frac{\sqrt 3}{12}[/tex]

[tex]a(2)[/tex] c'est [tex]\frac{\sqrt 3}{4}\times\left(1+\frac 1 3+\frac{12}{81}\right)[/tex] soit [tex]\frac{10\sqrt 3}{27}[/tex]
[tex]a(2)-a(0)= \frac{10\sqrt 3}{27}-\frac{\sqrt 3}{4}= \frac{13\sqrt 3}{108}[/tex]
Je prend n= 2
La formule donne :  [tex]\frac{\sqrt 3}{12}\times \frac{\;1-\frac{16}{81}}{1-\frac 4 9}=\frac{\sqrt 3}{12}\times \dfrac{\frac{65}{81}}{\frac 5 9}=\frac{\sqrt 3}{12}\times\frac{65}{81}\times \frac 9 5 =\frac{13\sqrt 3}{108}[/tex]
Ça a bien l'air de coller.

C'est ça que tu veux ?

Je ne pense pas avoir commis d'erreur...

@+

Helpy

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Re : DM de maths sur les suites

Merci énormément !!! c'est juste TOUT à FAIT ça, ça colle parfaitement !
Merci beaucoup !