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tina

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continuité d'une forme

Salut
Soit [tex]\Omega=\mathbb{R}^2_+[/tex] et soit sa frontière[tex] \Gamma = \{(x,0), x \in \mathbb{R}\}[/tex], et soit[tex] \lambda \in \mathbb{R}^*_+[/tex] et soit [tex]A[/tex] une matrice [tex]2 \times 2[/tex] symétrique définie positive, i.e. [tex]A=(a_{ij})_{1\leq i,j \leq 2}[/tex],[tex] a_{ij} \in \mathbb{R}[/tex] et il existe [tex]\alpha > 0[/tex] telle que [tex]$\sum_{1\leq i,j \leq 2} a_{ij} \xi_i \xi_j \geq \alpha ||\xi||^2,\quad \forall \xi=(\xi_1,\xi_2)\in \mathbb{R}^2[/tex].
On pose [tex]V=H^1_0(\Omega)[/tex] muni du produit scalaire [tex]((u,v))=\displaystyle\int\displaystyle\int_{\Omega} (\nabla u \nabla v + uv) dxdy[/tex].
On considère pour tout [tex]u,v \in H^1_0(\Omega),[/tex] [tex]a(u,v)=\displaystyle\int\displaystyle\int_{\Omega} A \nabla u \cdot \nabla v + \lambda \displaystyle\int\displaystyle\int_{\Omega} uv[/tex]
Ma question est comment montrer la continuité de la forme bi-linéaire [tex]a[/tex]? i.e., [tex]\exists M>0: |a(u,v)| \leq M ||u||_V ||v||_V[/tex]
et c'est le premier terme de |a(u,v) qui me pose problème.

Merci d'avance.

Fred

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Re : continuité d'une forme

Salut,

  Majore [tex] A\nabla u \cdot \nabla v[/tex] par l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Fred.

tina

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Re : continuité d'une forme

L'inégalité de Cauch-Schwarz nous donne [tex]\iint_{\Omega} |A \nabla u \cdot \nabla v| \leq (\iint_{\Omega} |A \nabla u|^2)^{1/2} ||\nabla v||_{L^2(\Omega)}[/tex]
Le problème persiste toujours est c'est la majoration de [tex]A[/tex] dans le premier terme. (on sait le minorer mais pas le majorer).

Dernière modification par tina (27-03-2014 19:18:31)

Fred

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Re : continuité d'une forme

Non, je ne t'ai pas dit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à l'intégrale, mais juste au produit scalaire
[tex] A\nabla u\cdot \nabla v[/tex] que tu peux donc majorer par [tex] \|A \nabla u \| \times \|\nabla v\| [/tex].

F.

tina

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Re : continuité d'une forme

et qu'est ce qu'on peut dire de [tex]||A \nabla u||[/tex]? Je veux dire qu'il faut la majorer par une constante multipliée par la norme du gradient de u. Que vaut cette constante?

Fred

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Re : continuité d'une forme

[tex]A[/tex] est une application linéaire (continue car on est en dimension finie). Par quoi peut-on majorer [tex] \| Ax \| [/tex] en général???

tina

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Re : continuité d'une forme

Par [tex]C ||x||[/tex]! Je prenais [tex]A[/tex] pour une matrice seulement, et je ne la voyais pas comme une application.