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momoyoyo

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tribue borilenne engendrée

salut a tous  ma question est:
comment  dementrer que la l'nsemble $$F = \left\{ {]a, + \infty [,a \in R} \right\}$$ engendre B(R)??

Choukos

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Re : tribue borilenne engendrée

Salut,
Tout d'abord remarquons que si [tex]a<b[/tex], alors [tex]]a,b[ \ = \ ]a,+\infty[ \ \cap \bigcup_{n\in \mathbb{N}^*}(]b-\frac{1}{n},+\infty[)^c[/tex]. Donc [tex]]a,b[[/tex] appartient à la tribu engendrée par F.

On s'est ainsi ramené à montrer que les intervalles de la forme [tex]]a,b[[/tex] avec [tex]a<b[/tex] engendrent [tex]\mathcal{B}(\mathbb{R})[/tex]. J'ai mis une rédaction possible de ce dernier résultat dans une balise "solution" au cas où tu voudrais chercher ce résultat par toi même.

▼Texte caché

Soit [tex]O[/tex] un ouvert quelconque de [tex]\mathbb{R}[/tex].
Montrons que [tex]O[/tex] est une union dénombrable d'intervalles de la forme [tex]]a,b[[/tex].
Soit [tex] x\in O[/tex] quelconque. Il existe [tex]\epsilon>0[/tex] tel que [tex] ]x-\epsilon, x+\epsilon[ \ \subset O[/tex]. On peut en plus demander à ce que [tex]\epsilon[/tex] soit rationnel. Comme l'ensemble des rationnels est dense dans l'ensemble des réels, il existe [tex]y \ \in \ ]x-\frac{\epsilon}{2}, x+\frac{\epsilon}{2}[ [/tex].
On a [tex]]y-\frac{\epsilon}{2}, y+\frac{\epsilon}{2}[ \ \subset \  ]x-\epsilon, x+\epsilon[ \ [/tex]. (Faire un dessin si besoin).
On a ainsi montré que [tex] x\in \ ]y-\frac{\epsilon}{2}, y+\frac{\epsilon}{2}[ \ \subset O \ [/tex], avec [tex]\epsilon[/tex] et [tex]y[/tex] rationnels !

Finalement on a [tex]O= \bigcup_{y\in \mathbb{Q}}_{\eta \in \mathbb{Q}^*_+}]y-\eta,y+\eta[[/tex]. Ces intervalles étant des éléments de F et [tex]\mathbb{Q}[/tex] étant dénombrable, on a donc bien montré que tout ouvert de [tex]\mathbb{R}[/tex] est réunion dénombrable d'éléments de F.
(Edit : j'ai abusé en écrivant cette dernière union : les [tex]y[/tex] et [tex]\eta[/tex] ne parcourent pas  [tex]\mathbb{Q}[/tex] et [tex]\mathbb{Q}^*_+[/tex] mais seulement des sous-ensembles de [tex]\mathbb{Q}[/tex] et [tex]\mathbb{Q}^*_+[/tex]).

Dernière modification par Choukos (09-03-2014 18:38:42)