Forum de mathématiques - Bibm@th.net

momo

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Développements limités

Bonjour,
     J'ai un problème avec les DL, par exemple ici http://www.bibmath.net/ressources/index … &type=fexo à la question 4 de l'exercice 4, on nous demande de donner le DL du produit de cos(x) et ln(1+x), donc on suit la méthode qui dit qu'il faut les écrire tout les deux à l'ordre 4 et faire le produit en ne prenant que les termes de puissance inférieurs ou égale à 4, pour ln(1+x) c'est clair, mais pour cos(x), je vois pas comment on peut l'écrire à l'ordre 4 ( ni à tout ordre pair) puisque dans l'équation du cours on ne peut écrire cos(x) qu'avec les ordre impairs ( x^(2n+1)), quand j'ai vu la solution y'a marqué qu'ils sont allé jusqu'à l'ordre 4, alors que c'est l'ordre 5 normalement.
     Voilà merci.

jml

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Re : Développements limités

au voisinage de 0 => cos (x) = 1 - x2/2! + x4/4! + ... + (-1)p x2p/(2p)! + o(x2p)     
cos est paire cos(x)=cos(-x).

momo

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Re : Développements limités

au voisinage de 0 => cos (x) = 1 - x2/2! + x4/4! + ... + (-1)p x2p/(2p)! + o(x2p)     
cos est paire cos(x)=cos(-x).

C'est o(x^(2p+1)) et je vois pas comment l'écrire a un ordre pair

Dernière modification par momo (04-03-2014 02:50:41)

Fred

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Re : Développements limités

Salut,

  Qui peut le plus peut le moins....
[tex]\cos(x)=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+o(x^5) [/tex], c'est vrai.

Mais être un [tex]o(x^5) [/tex] c'est être négligeable devant [tex]x^5[/tex] (en 0). A fortiori, on est négligeable devant [tex]x^4[/tex]
et donc on est un [tex]o(x^4) [/tex]

Cette notation avec des "petits" o est parfois trompeuse. On peut aussi écrire le DL sous la forme suivante :
[tex]\cos(x)=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+x^5\epsilon(x) [/tex], avec [tex]\epsilon(x)\to 0[/tex] en 0.
Mais alors, en posant [tex]\epsilon_1(x)=x\epsilon(x)[/tex], cela s'écrit aussi
[tex]\cos(x)=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+x^4\epsilon_1(x) [/tex], avec [tex]\epsilon_1(x)\to 0[/tex] en 0.

Fred.

momo

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Re : Développements limités

Ah d'accord merci Fred j'y vois beaucoup plus clair maintenant, donc en gros si une fonction admet un DL à l'ordre n, alors elle admet un DL ( avec la même partie régulière ) à n'importe quel autre ordre inférieur à n, c'est bien ça ?

Merci !!

Fred

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Re : Développements limités

C'est exactement cela!

momo

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Re : Développements limités

Merci ! :D