Forum de mathématiques - Bibm@th.net

peet

Invité

formule de Green et dérivée au sens faible

Bonsoir,
soient [tex]\Omega_1[/tex] et [tex]\Omega_2[/tex]  deux ouverts [tex]\mathbb{R}^2[/tex] d'intersection vide. On pose [tex]\Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2[/tex], et soit [tex]u\in C^0(\Omega)[/tex] définie par [tex]u(x)=u_1 \chi_{\Omega_1} + u_2 \chi_{\Omega_2}[/tex] où [tex]u_i \in C^1(\Omega_i)[/tex], i=1,2.
Calculer [tex]\nabla u[/tex] au sens des distributions, et est ce que [tex]u \in H^1(\Omega)[/tex]? Indication: utiliser la formule de Green.

Pour le calcul de [tex]\nabla u[/tex] au sens des distributions, on a pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)[/tex]:
[tex]\langle \nabla u , \varphi \rangle = - \langle u_1 \chi_{\Omega_1} , \nabla \varphi \rangle - \langle u_2 \chi_{\Omega_2} , \nabla \varphi \rangle[/tex]
Je ne sais pas comment appliquer la formule de Green ici pour obtenir [tex]\nabla \varphi[/tex], et comment on peut voir si u est dans [tex]H^1(\Omega)[/tex]?

Merci par avance.