Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sotsirave

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dénombrement proba

Bonjour

Voici un exercice

1) Calculer le cardinal de l’ensemble des nombres écrits en binaire avec 102 chiffres, commençant et finissant par 1,  comportant 15 zéros exactement jamais consécutifs.(il y a toujours au moins un  1 entre deux zéros) ;
(j’ai trouvé  environ 2,178403638* 10¹⁶) (est-ce bon ?)

2) Au cours d’un jeu télévisé hebdomadaire, on choisit au hasard 15 personnes, parmi les 100 présentes numérotées de 1 à 100, pour participer .
On appelle «  succès  » le choix de 15 numéros dont deux quelconques ne sont pas consécutifs .

a)    Quelle est la probabilité p d’un succès ? arrondir à 10^-3 (je n’ai pas encore trouvé)
b)    Quelle est la probabilité P d’obtenir au moins 2 succès en n semaines ?
    (j’ai trouvé  si q = 1 – p, P =  1 – (np  + q )*q^(n-1) ?

c)    A partir de combien de semaines P > ½ ?

Merci

totomm

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Re : dénombrement proba

Bonjour,

Pour 1) : réponse OK
Pour 2a) le nombre total de cas équiprobables correspond au choix de 15 personnes parmi les 100 (nombre de combinaisons)
Si les personnes choisies sont marquées d'un Zéro et si on considère les intervalles entre personnes alors non marquées, le nombre de "succès" correspond au résultat du 1)…

Bonne suite.

sotsirave

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Re : dénombrement proba

merci .
Le raisonnement de la question 2 est-il correct ?(j'ai trouvé n>19)

A+

totomm

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Re : dénombrement proba

re Bonjour,

OK pour n>19

sotsirave

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Re : dénombrement proba

bonsoir

Merci à la prochaine

freddy

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Re : dénombrement proba

Salut,

je trouve des résultats un peu différents, et comme il n'y a aucun détail, je ne sais où j'ai pu me tromper.

Pour moi, la réponse à la première (et seconde) question est le nombre suivant :[tex] \prod_{k=0}^{14}(100-3\times k)=2,36881\times 10^{28}[/tex] puisqu'au début, j'ai le choix entre 100 numéros, puis [tex]100-3=97[/tex] numéros puisque les deux numéros connexes à celui tiré sont interdits, puis [tex]100- 6=94[/tex]  numéros ... Je fais k'hypothèse que les numéros 1 et 100 sont considérés comme étant "à la suite".

Par voie de conséquence, la probabilité d'un "succès" est [tex]p = \frac{\prod_{k=0}^{14}(100-3\times k)}{\prod_{k=0}^{14}(100-k)}=7,15[/tex]%.

Et donc il faut jouer au moins 24 semaines pour que la probabilité d'avoir au moins 2 succès en 24 semaines soit strictement supérieure à 50 %.

Dernière modification par freddy (28-01-2014 13:09:10)

totomm

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Re : dénombrement proba

Bonjour,

Voici comment j'ai raisonné pour la première question :

J'écris en binaire un nombre composé de 102 chiffres 1 et j'en retire 15 que je transforme en chiffres 0.
Il reste un nombre ayant 102-15-1 = 86 intervalles entre les 87 chiffres 1.

J'obtiens alors un nombre
"comportant 15 zéros exactement jamais consécutifs.(il y a toujours au moins un  1 entre deux zéros)",
et je les obtiens tous, de façon équiprobable, en plaçant chacun des 15 chiffres 0 dans un intervalle vide, choisissant au fur et à mesure un intervalle de façon équiprobable parmi ceux vides.

J'obtiens bien autant de nombres que de combinaisons de 15 objets pris parmi 86 soit
[tex]\binom{86}{15}=21784036380896880 = 2.1784 \times 10^{16}[/tex]

A+

totomm

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Re : dénombrement proba

Bonjour,

Par voie de conséquence, la probabilité d'un "succès" est [tex]p = \frac{\prod_{k=0}^{14}(100-3\times k)}{\prod_{k=0}^{14}(100-k)}=7,15[/tex]%.

Je ne comprends pas les produits des (100-3k) qu'il faudrait peut-être expliciter au delà  de k=1,
ou préciser même pour k=0 si le numéro 1 est tiré dès le début ? ...A priori ce décompte sous-estime les "succès"

je précise donc que la réponse à la question 2a) telle qu'évoquée au post  #2 était : 0.086

Une simulation (Monte-carlo : 20 passes de 1000 tirages) donne une
probabilité de succès = 8.7% pour la question 2a) et c'est plutôt encourageant...

Voici le nombre de succès de chaque passe pour 1000 tirages :
73 84 92 88 101 78 81 92 93 97 111 94 84 83 73 97 80 84 74 81

En renouvelant la simulation, les moyennes oscillaient entre 8.5% et 9.0 %

Dernière modification par totomm (29-01-2014 17:50:44)

freddy

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Re : dénombrement proba

Salut,

oui, oui, je suis d'accord, j'ai abordé le sujet du mauvais point de vue.

Dans le premier cas, on a bien le nombre [tex]\binom{86}{15}[/tex] et la base de calcul de la seconde question est naturellement [tex]\binom{100}{15}[/tex]

Donc la proba cherchée est bien [tex]p=8,6[/tex] %.

Sorry !

totomm

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Re : dénombrement proba

Bonjour freddy,

Merci. Même quasi certain de la solution, j'ai eu un doute qui m'a fait entreprendre une simulation… L'important est que  sotsirave soit conforté définitivement !

Je suis toujours surpris par la dispersion des résultats d'une simulation du "hasard". Ca on a l'intuition "fausse" que les résultats successifs doivent être "serrés". Cela mériterait peut-être une explication que je ne me sens pas tout à fait capable de développer…

freddy

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Re : dénombrement proba

Salut,

c'est toute la problématique de la statistique mathématique. En clair, nous ne nous trouvons jamais dans une situation où tout se passe comme le modèle théorique conceptuel le stipule. On ne répète pas une infinité de fois la situation, le temps nous est compté, on ne dispose que d'un échantillon.

A partir de là, la question est de formuler une hypothèse sur la loi sous jacente qui a gouverné la situation observée et de vérifier la cohérence de cette hypothèse. C'est en l'espèce le rôle des tests d'hypothèse.

Dans le cas que tu as développé, la question est de trouver le moyen d'être assuré que la proba de succès estimée est bien celle que le modèle théorique (la réponse aux questions initiales du post) nous a indiqué. Théorie des estimateurs convergents, tests d'hypothèses, puissance d'un test, ... , la liste est longue et chaque année, des gars du monde entier trouvent de nouvelles idées et techniques/méthodes pour vérifier que ce qu'on ne pourra jamais vraiment vérifier n'est pas trop loin de ce qu'on pense être la vérité.

Dans la Bibm@th, à la rubrique "probabilités et statistiques", Fred a récapitulé un large spectre des techniques les plus classiques, mais le domaine est vaste et loin d'être achevé. La science est trop jeune encore pour entrevoir les limites. Et les champs d'application sont larges, en particulier en assurance, finance médecine, recherche opérationnelle, socio-psychologie, économie, contrôle de qualité, sondage ... la vie , quoi !

A titre personnel, la question que je me pose depuis plus de 35 ans est relative aux générateurs de nombres pseudo-aléatoires et à la qualité de ceux-ci. Car si on modèlise une situation aléatoire en utilisant un générateur qui simule mal le "hasard", alors tous les résultats obtenus seront faux et les décisions qu'on peut être amené à prendre seront sous-optimales au mieux, catastrophiques au pire.

Si par exemple tu as utilisé la fonction alea() d'Excel, tu peux faire plusieurs tirages et tu observeras que les mêmes résultats reviennent. Ce qui veut dire que la suite aléatoire ne l'est pas vraiment.

Actuellemement, un bon simulateur est le Mersene twister, mais il contient encore des limites.

Et ces limites sont aussi liées aux contraintes physiques des ordinateurs que nous utilisons. A la fac de Jussieu à Paris, il y a des travaux assez intéressants sur ce sujet.

Et le fond du fond de la question est finalement : qu'est ce que le hasard et comment le simuler ? Ivar Ekeland a publié il y a longtemps un livre de poche intitulé "la hasard, l'imprévu". C'est très, très intéressant !

Dernière modification par freddy (30-01-2014 14:11:39)

ymagnyma

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Re : dénombrement proba

Ah, la dernière question de freddy, à chaque fois, je succombe, je pense directement à ce premier livre que j'ai lu de Robert Littell, dont j'ai peut-être déjà parlé ici : "Le sphinx de Sibérie". Qu'est-ce que le hasard et comment le simuler ? C'est la trame de fond de ce délicieux roman inclassable de Robert Littlell.
Bonne lecture ; bonne réflexion.