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dh8

Invité

support d'une distribution

Salut
soit une distribution [tex]u[/tex] de dérivée nulle, et soit [tex]\chi[/tex] une fonction de classe [tex]C^{\infty}[/tex] qui prend la valeur 0 au voisinage de [tex]-\infty[/tex] et qui vaut 1 au voisinage de [tex]+\infty[/tex].
Pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], on pose
[tex]\psi(x)=-\displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(t)dt + (\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) dt) \chi(x)[/tex]
comment on montre que [tex]\chi '[/tex] et [tex]\psi[/tex] appartiennent à [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]?
Elles sont [tex]C^{\infty}[/tex], oui, mais comment prouver qu'elles sont à support compact?
merci par avance.

Roro

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Re : support d'une distribution

Bonjour dh8,

Je ne répond que partiellement mais d'après ce que tu dis je ne vois pas du tout pourquoi [tex]\chi'[/tex] serait à support compact (tu n'as aucune information la dessus).

Roro.

P.S. et que vient faire la fonction u dans le schmilblick ?

Dernière modification par Roro (24-01-2014 14:07:10)

dh8

Invité

Re : support d'une distribution

salut
comment montrer que [tex]\chi'[/tex] la dérivée de [tex]\chi[/tex] définie dan mon poste 1 appartient à [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] je ne trouve déjà pas la dérivée de [tex]chi[/tex]
merci de l'aide

Fred

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Re : support d'une distribution

[tex]\chi'[/tex] est de classe [tex]C^\infty[/tex] comme dérivée d'une fonction de classe [tex]C^\infty[/tex]
et de plus [tex]\chi'[/tex]  est nulle au voisinage de [tex]\pm\infty[/tex] donc est à support compact....

Pour démontrer que [tex]\psi[/tex] est à support compact, soit [tex]A>0 [/tex] tel que
* si [tex]x\leq -A, \varphi(x)=\chi(x)=0[/tex]
* si [tex]x\geq A, \varphi(x)=1[/tex] et [tex]\chi(x)=1[/tex].

Alors le support de [tex]\psi[/tex] est inclus dans [tex] [-A,A] [/tex].
Par exemple, si [tex]x>A[/tex], alors
[tex]\int_{-\infty}^x \varphi(t)dt=\int_{\mathbb R}\varphi(t)dt[/tex] et [tex]\chi(x)=1[/tex]....

Fred.

dh8

Invité

Re : support d'une distribution

merci.  Il me reste la dérnière question de cet exercice qui me parait un peu bizar, je ne la comprend pas vraiment.
Soit [tex]u[/tex] une distribution sur [tex]\mathbb{R}[/tex], puis pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\R)[/tex] on a posé [tex]\psi(x)=-\displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(t) dt + (\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) dt) \chi(x)[/tex]

La question est: déduire que [tex]<u,\varphi > = <u,\chi'> \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) dt[/tex].

Comment on fait cette déduction? ca ne doit pas etre [tex]<u,\psi>[/tex] à la place de [tex]<u,\varphi>[/tex] par hasard?
merci pour l'aide.
PS: j'ai trouvé cet exercice sur le lien suivant:
http://perso.univ-rennes1.fr/florian.me … 08/td2.pdf

Fred

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Re : support d'une distribution

Re-

Puisque [tex]u[/tex] est à dérivée nulle, on a [tex]\langle u,\psi'\rangle =0[/tex].
Je te laisse achever le calcul....

F.

dh8

Invité

Re : support d'une distribution

Okay! ca vaut 0. Merci beaucoup.
Dernière question svp. Comment on montre que [tex]e^{1/x^2}[/tex] appartient à [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R}^+[/tex]? et pourquoi on ne peut pas le prolonger à [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R})[/tex]?
Merci pour l'aide.

Fred

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Re : support d'une distribution

Okay! ca vaut 0. Merci beaucoup.
Dernière question svp. Comment on montre que [tex]e^{1/x^2}[/tex] appartient à [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R}^+[/tex]?

Parce que la fonction [tex]e^{1/x^2}[/tex] est bornée sur tous les compacts de [tex]]0,+\infty[[/tex], et donc elle est localement intégrable sur
[tex] ]0,+\infty[ [/tex]

et pourquoi on ne peut pas le prolonger à [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R})[/tex]?
Merci pour l'aide.

Parce que, si tu prends une fonction test [tex]\phi[/tex] égale à 1 au voisinage de 0, alors
[tex]\int_{\mathbb R} \phi(x)e^{1/x^2}dx[/tex] n'est pas une intégrale convergente, car elle ne converge pas en 0.
En effet, au voisinage de 0,
[tex]\phi(x)e^{1/x^2}\sim e^{1/x^2} [/tex] et cette dernière fonction n'est pas intégrable en 0,
par exemple parce que [tex]xe^{1/x^2}\to +\infty\textrm{ si }x\to 0[/tex].

F.

dh8

Invité

Re : support d'une distribution

Merci beaucoup, c'est très clair. Il reste un point que je ne comprend pas vraiment, si: la fonction [tex]e^{1/x^2}[/tex] n'est pas intégrable en 0, parce que [tex]xe^{1/x^2}->+\infty[/tex] si [tex]x->0[/tex]. Je ne comprend pas cette implication. Comment on voit que [tex]e^{1/x^2}[/tex]n'est pas intégrable en 0?

Fred

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Re : support d'une distribution

Parce que [tex]e^{1/x^2}\geq \frac 1x>0[/tex] au voisinage de 0, et que cette dernière fonction n'est pas intégrable.

dh8

Invité

Re : support d'une distribution

Dérnier point, qu'est ce qu'on peut déduire de l'éqgalité [tex]<u,\varphi>=<u,\chi'>\displaystyle\int \varphi(t) dt[/tex] qu'on a montré plus haut?

Fred

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Re : support d'une distribution

On peut en déduire que [tex]u[/tex] est la distribution associée à la fonction constante [tex]\langle u,\chi' \rangle [/tex].

dh8

Invité

Re : support d'une distribution

mais est ce que le fait qu'une fonction ne soit pas localement intégrable au voisinage de 0, suffit à conclure qu'on ne peut pas la prolonger à [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]? regarder par exemple [tex]\exp(1/x)[/tex] par exemple. Non,