Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 08-01-2014 20:32:58
- Raoul722
- Membre
- Inscription : 30-12-2013
- Messages : 18
Corps polynôme
Salut à tous,
Je vous écris parce que je bloque sur une question...
Soit [tex]\mathbb{K}:=\mathbb{F}_{3}[X]/(X^{2}+1)[/tex]
On me demande de donner une base de [tex]\mathbb{K}[/tex] comme [tex]\mathbb{F}_{3}[/tex]-espace vectoriel et d'écrire dans cette base tous les éléments de [tex]\mathbb{K}[/tex].
Alors voilà pour tout vous dire je ne sais pas du tout comment commencer.
Je crois que par exemple, dans le cas de l'extension de [tex]\mathbb{Q}[/tex], [tex]\mathbb{Q}(i)[/tex] je peux dire qu'une base est [tex]\{1,i\}[/tex] parce que ce sont les puissances des racines du polynôme minimal de i, mais ici comme le polynôme est irréductible sur [tex]\mathbb{F}_{3}[/tex], comment procéder ?
Merci d'avance.
Hors ligne
#2 08-01-2014 21:24:41
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Corps polynôme
Salut,
[tex]X^2+1[/tex] est aussi irréductible sur [tex]\mathbb Q[/tex] !!!!
La différence, c'est que tu considères [tex]\mathbb Q[X]/(X^2+1) [/tex] comme sous-corps du corps de décomposition [tex]\mathbb C[/tex], et donc tu "connais" [tex]i[/tex].
Mais qu'est-ce que [tex]i[/tex] sinon la classe de [tex]X[/tex] dans [tex]\mathbb Q[X]/(X^2+1) [/tex], puisque [tex]i^2+1=0[/tex].
Dans le cas des corps finis qui t'intéresse, tu considères [tex]a[/tex] la classe de [tex]X[/tex] dans [tex]\mathbb K[/tex]. Alors [tex](1,a)[/tex] est une base de [tex]\mathbb K[/tex] comme [tex]\mathbb F_3[/tex] espace vectoriel.
F.
Hors ligne
#3 08-01-2014 21:37:56
- Raoul722
- Membre
- Inscription : 30-12-2013
- Messages : 18
Re : Corps polynôme
Merci pour ton aide.
J'ai peur de dire une bêtise mais dans le cas présent, la classe de [tex]X[/tex] dans [tex]\mathbb{K}[/tex] vaut [tex]X[/tex] c'est bien ça ?
Donc [tex]\{1,X\}[/tex] forme une base de [tex] \mathbb{K}[/tex] et donc écrire tous les éléments dans cette base ça revient à juste les énumérer ?
Merci d'avance
Hors ligne
#4 08-01-2014 21:40:24
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Corps polynôme
En général, on n'écrit pas [tex]X[/tex], mais [tex]\bar X[/tex], pour bien signifier qu'on travaille avec la classe de...
Par exemple, [tex]\overline{X^4}=\bar X[/tex], ce qui serait beaucoup moins clair si on enlevait les barres...
Et tu as raison, il suffit d'énumérer les éléments.
F.
Hors ligne
#6 09-01-2014 09:36:25
- Raoul722
- Membre
- Inscription : 30-12-2013
- Messages : 18
Re : Corps polynôme
Si je peux me permettre, encore une question toujours concernant le corps énoncé ci-dessus.
Que signifie [tex]\mathbb{K}^{*}[/tex] ici ? Dans un anneau cela désigne l'ensemble des éléments inversible mais comme [tex]\mathbb{K}[/tex] est un corps, ils le sont tous non ?
Merci d'avance !
Hors ligne
Pages : 1