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Blis3

Invité

Résolution de systèmes par la méthode de Gauss

Bonjour,

J'aimerais savoir résoudre correctement les deux systèmes ci-contre :

a) Inconnues (x,y,z)
2x-4y-z=3
x-y-z=2
-3x+y+4z=a

b) Inconnues (x,y,z)
ax+y+z=0
x+y+(2a-1)z=0
x+ay+z=0

J'ai fait :
a)
-2y+z=-1 L1-2L2
x-y-z=2 L2
-2y+z=6+a 3L1+L3

0=-7-a L1-L3
x-3y=-4+a L2+L3
-2y+z=6+a L3

Donc 1er cas : si a=-7
alors :
2x-4y-z=3
x-y-z=2
-3x+y+4z=-7 il faut résoudre ce système

2ème cas, si a est différent de -7 pas de solution

b)
y(1-a)+z(1-2a²+a)=0 L1-AL2
x+y+(2a-1)z=0
y(1-a)+2z(a-1)=0 L2-L3

z(-2a²-a+3)=0 L1-L3
x(1-a)+(-2a²+1+a)z=0 (1-a)L2-L3
y(1-a)+2z(a-1)=0

à ce niveau là je ne vois plus comment poursuivre

Merci de corriger le a) et de m'aider pour le b)

Fred

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Re : Résolution de systèmes par la méthode de Gauss

Je n'ai pas vérifié les calculs pour le a), mais la démarche me semble correcte.

Pour le b), il y a déjà un problème dans ta deuxième manipulation. Tu n'as le droit de faire (1-a) L2-L3 que si 1-a est non-nul. Donc tu dois alors commencer a ce niveau, à ce niveau, à traiter à part ce cas. Ensuite, tu peux remarquer que, dans le système que tu as obtenu, tous les polynomes du second degré admettent a=1 pour racine. Tu peux donc factoriser par (a-1), puis simplifier par (a-1) dans tout le système puique tu es dans le cas où a est différent de 1.

Fred.

Blis3

Invité

Re : Résolution de systèmes par la méthode de Gauss

voici ce que j'ai refait pour la b) :

x+y+(2a-1)z=0
x+ay+z=0
ax+y+z=0

x+y+(2a-1)z=0
(a-1)y+(2-2a)z=0  L2-L1
(1-a)y+(1+a-2a²)z=0 L3-aL1

x+y+(2a-1)z=0 L1
(a-1)y+2(1-a)z=0 L2
(1-a)(3+2a)z=0  L3+L2

Donc On étudie les cas où (1-a)(3+2a)=0 et (1-a)(3+2a)0

si a=1 alors les equations du systeme initial sont identiques: x+y+z=0 d'où le resultat.
si a=-3/2 alors en reprenant tes dernieres equations, on a z quelconque puis y=2z et x=2z.

merci de corriger

Fred

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Re : Résolution de systèmes par la méthode de Gauss

Oui, cela a l aircorrect