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Raul75

Invité

Incompréhension corps Q[i,j]

Bonjour à tous,

Je vous écris car en relisant mon cours concernant la correspondance de Galois je suis un peu perdu.
En effet on étudie le corps [tex]\mathbb{Q}[ \sqrt[3]{2},j][/tex] et pour être franc, je ne vois pas du tout à quoi cela correspond.
Si je ne dis pas de bêtise [tex]\mathbb{Q}[a][/tex] est l'anneau des nombres [tex]x + ay[/tex] avec [tex]x,y \in \mathbb{Q}[/tex].
Dois-je en conclure que [tex]\mathbb{Q}[ \sqrt[3]{2},j][/tex] est l'anneau des nombres [tex]x + \sqrt[3]{2}y +jz [/tex] avec [tex]x,y,z \in \mathbb{Q}[/tex] ?

Merci d'avance pour vos explications !

Fred

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Re : Incompréhension corps Q[i,j]

Salut,

  Pour moi, [tex]\mathbb Q [a][/tex] est le plus petit corps contenant à la fois les rationnels et a. En particulier, il doit contenir toutes les puissances de a.
Ainsi, [tex]\mathbb Q [\sqrt[3]{2}] [/tex] est l'ensemble des nombres qui s ecrivent [tex] a+b\sqrt[3] 2+c\sqrt[3] 4 [/tex], avec a, b, c des rationnels.

Si on considère plus de un élément,  la définition est identique, mais on doit prendre garde à ce que le corps contienne aussi tous les produits de ces éléments.

Fred

Raul75

Invité

Re : Incompréhension corps Q[i,j]

Merci beaucoup pour ton explication.

Juste une dernière question, pour [tex]\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}][/tex] par rapport à la définition que j'avais donné tu as rajouté le terme [tex]\sqrt[3]{4}[/tex] car il faut considérer le produit de [tex][\sqrt[3]{2}][/tex] par lui même ?
Et donc pour [tex]\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2},j][/tex] cela serait [tex]a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}+dj+ej^2+f\sqrt[3]{2}j[/tex] avec [tex]a,b,c,d,e,f[/tex] rationnels c'est bien ça ?

Fred

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Re : Incompréhension corps Q[i,j]

Oui pour ta première question. Il manque quelques produits dans ton deuxième exemple (3 exactement), car tu dois aussi faire apparaitre les produits des puissances.

Raul75

Invité

Re : Incompréhension corps Q[i,j]

Merci beaucoup pour ces précisions, j'y vois plus clair maintenant :)