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Blis3

Invité

Récurrence

Bonjour à tous,

On me demande de montrer que pour tout n de N, [tex]X_n=M^nX_0[/tex] en sachant que:

[tex]X_n=(u_{n+2}[/tex]
           [tex]u_{n+1}=        u_n)[/tex]
et que [tex]X_{n+1}=MX_n[/tex] et que la suite u est telle que [tex]u_0=-1[/tex], [tex]u_1=2[/tex], [tex]u_2=14[/tex] et pour tout n de N, [tex]u_{n+3}=7u_{n+2}-16u_{n+1}+12u_n[/tex]

J'ai trouvé une matrice M telle que :

[tex]\begin{pmatrix}u_{n+3}\\u_{n+2}\\u_{n+1}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7&-16&12\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{n+2}\\u_{n+1}\\u_{n}\\\end{pmatrix}[/tex]

Pouvez vous m'aider pour la suite ?

Merci :)

Blis3

Invité

Re : Récurrence

Juste une précision pour[tex] X_n[/tex] c'est une matrice 3*1 et le [tex]u_n[/tex] est sous le [tex]u_{n+1}[/tex]

Fred

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Re : Récurrence

As tu pense à démontrer la relation par récurrence?

Blis3

Invité

Re : Récurrence

non justement je n'y arrive pas

Fred

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Re : Récurrence

Si [tex]X_n=M^nX_0   [/tex]  et si  [tex]X_{n+1}=MX_n  [/tex]  comment faire pour exprimer  [tex]  X_{n+1}[/tex] en fonction de [tex] X_0 [/tex]?

Blis3

Invité

Re : Récurrence

On ne peut pas multiplier par [tex]X_n[/tex] car le n est en indice. Je ne sais vraiment pas (pour vous dire que j'ai passé la semaine sur cette question (en exagérant un peu bien sur))

De plus, on a plus le M à la puissance n ...

yoshi

Modo Ferox

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Re : Récurrence

Bonsoir,

[tex]Si X_n=M^nX_0[/tex]  et si  [tex]X_{n+1}=MX_n[/tex]

On ne peut pas multiplier par Xn car le n est en indice.

Euh...
Et si dans : [tex]X_{n+1}=MX_n[/tex] tru essayais de substituer [tex]M^nX_0[/tex] à [tex]X_n[/tex], hein ?

@+

Blis3

Invité

Re : Récurrence

[tex]X_n+1=MM^nX_0[/tex]

oui c'est une bonne idée , mais je ne peux rien faire d'autre par contre ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Récurrence

Bonsoir,

Bin.... remplacer [tex]MM^n[/tex] par [tex]M^?[/tex] pour obtenir une forme permettant de dire que la récurrence est vérifiée !

@+

Fred

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Re : Récurrence

Euh, rappelle moi comment est défini M^2, M^3,...

Blis3

Invité

Re : Récurrence

donc :

X_{n+1}=M^n+1X_0

Donc récurrence vérifiée

mais ce n'est pas "que ça " qu'il faut faire pour répondre à la question si ?

Blis3

Invité

Re : Récurrence

donc :
[tex]X_{n+1}=M^{n+1}X_0[/tex]
Donc récurrence vérifiée
mais ce n'est pas "que ça " qu'il faut faire pour répondre à la question si ?

Blis3

Invité

Re : Récurrence

Ma matrice M est :

[tex]\begin{pmatrix} 7&-16&12\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}[/tex]

Dernière modification par yoshi (29-12-2013 19:35:21)

Fred

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Re : Récurrence

J imagine que dans la suite de ton exercice, on te fait calculer [tex]M^n[/tex], mais pour répondre à la question telle que tu l'as posée dans ton premier message, il n y a que cela à faire.

Blis3

Invité

Re : Récurrence

oui dans la suite il faut calculer [tex]M^n[/tex]

Donc en fait ici, c'est juste une récurrence ?

D'accord merci