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dh8

Invité

ordre distributions

Salut!
si on considère une distribution [tex]T[/tex] définie par [tex]<T,\varphi>=\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k} (\varphi(\dfrac{1}{k}) - \varphi(0))[/tex]
on veut montrer que la distribution [tex]T[/tex] n'est pas d'ordre [tex]m=0[/tex]. Pour ca, je considère une suite [tex]\varphi_n[/tex] telle que [tex]supp \varphi_n = [0,2][/tex], [tex]0\leq \varphi_n \leq 1[/tex] et [tex]\varphi_n(0)=0[/tex] et [tex]\varphi_n(x)=1, \forall x \in [\dfrac{1}{n},1][/tex]
et on montre que l'inégalité [tex]<T,\varphi_n> \leq C ||\varphi_n||_{\infty}[/tex] n'est pas satisfaite.
On a ca parce que [tex]||\varphi_n||_{\infty}=1[/tex] et [tex]\lim_{n->+\infty} <T,\varphi_n> = \infty[/tex].

Ma question est: d'un coté, puisque [tex]T[/tex] est une distribution, pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] , la série [tex]<T,\varphi>[/tex] converge, mais de l'autre coté, en montrant que la distribution [tex]T[/tex] n'est pas d'ordre 0, on trouvé une suite de fonctions [tex]\varphi_n[/tex] telle que [tex]<T,\varphi_n>[/tex] diverge.
Je ne comprend pas! Merci de m'avoir lu, et merci pour l'aide.

Fred

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Re : ordre distributions

Salut,

  Il n'y a pas de contradictions. Pour chaque [tex]\varphi[/tex] fixée, la série converge et on peut définir [tex]\langle T,\varphi\rangle [/tex].

Lorsqu'on choisit différentes valeurs pour [tex]\varphi[/tex], ici une suite [tex](\varphi_n)[/tex], on obtient diverses valeurs pour
les [tex]\langle T,\varphi_n\rangle[/tex] (une suite de réels) et lorsqu'on fait tendre [tex]n[/tex] vers l'infini, ceci tend vers l'infini.
Ce qui ne contredit pas que, pour chaque [tex]n[/tex], [tex]\langle T,\varphi_n\rangle [/tex] est fini.

F.