Forum de mathématiques - Bibm@th.net

lieutenantaka

Membre

Inscription : 30-04-2013

Messages : 7

convergence d'une suite

Bonjour!
On donne deux matrices régulieres A et B d'ordre n et u,v deux vecteurs de R^n. On construit les deux itérations suivantes:
x(0),y(0) dans R^n
x(k+1) =B*y(k) + u et y(k+1) =A*x(k)+v.
Donner une condition necessaire et suffisante de convergence des deux suites x(k) et y(k). * represente la multiplication.
Merci d'avance pour m'aider à resoudre ça.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : convergence d'une suite

Salut,

sauf erreur et en première lecture, je dirais qu'il faut que les valeurs propres des matrices [tex]AB[/tex] et [tex]BA[/tex] soient de module stritement inférieur à 1 pour que les matrices [tex] (I_d-AB)^{-1}[/tex] et [tex](I_d-BA)^{-1}[/tex] existent.

Je te laisse finir !

Dernière modification par freddy (14-11-2013 14:06:46)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : convergence d'une suite

Re,

encore un qui s'est évaporé ...

Bon, la raison de tout ça est simple.

On a le couple vectoriel [tex]\begin{cases} x_{k+1}=B\times y_{k}+u \\ y_{k+1}=A\times x_{k}+v \end{cases}[/tex].

S'il converge, il existe alors le couple [tex](x^*, y^*)[/tex] tel que [tex]\begin{cases} x^*=B\times y^*+u \\ y^* = A\times x^*+v \end{cases}[/tex].

Par substitution, on aurait [tex]\begin{cases} x^*=B\times (A\times x^*+v)+u \\ y^* = A\times (B\times y^*+u)+v \end{cases}[/tex]

qu'on peut écrire aussi de la manière suivante : [tex]\begin{cases} (I_d-B.A)\times x^*= B\times v+u \\ (I_d- A.B)\times y^*=A\times u+v \end{cases}[/tex].

Et on sait que la somme matricielle [tex]\lim_{n \to \infty} (I_d + X + X^2+ \cdots + X^n ) = (I_d - X)^{-1}[/tex] ssi les valeurs propres de X sont de module strictement inférieur à 1.