Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mathovore

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Intégration par parties

Salut,

Je bloque sur une intégration par parties et ça a le don de m'énerver. La voici:

λ= K* intégrale de 0 à l'infini de [tex]x*e^{-K*x}.dx[/tex]   K cste

J'ai posé [tex]u=x[/tex] et [tex]dv= e^{-Kx}.dx[/tex]
Du coup [tex]u'= 1[/tex] et [tex]v= -1/K*e^{-Kx}[/tex]

Ensuite je vous passe tout le développement histoire de ne pas faire de bouillie vu que je ne sais pas très bien utilisé Latex.

J'en arrive à λ= [tex]K*[-1/K*e^{-Kx}*x[/tex]+ intégrale de [tex]1/K *e^{-kx}[/tex] prise de 0 à l'infini]
Ensuite je suppose que je dois calculer cette intégrales aux bornes définies précédemment mais je n'y arrives pas!

Merci de m'aider!

PS: Comment fait-on pour faire une division avec Latex je veux dire un beau trait de fraction?
---------------------------------------------------------------
[EDIT]
C'est la mnémonique  \frac{numérateur}{dénominateur} -->[tex] \frac{numérateur}{dénominateur}[/tex]
Expliqué là : Code Latex
\int_{0}^{+\infty} xe^{-kx} dx   ---> [tex]\int_{0}^{+\infty} xe^{-kx} dx[/tex]

Yoshi

Dernière modification par yoshi (14-11-2013 20:31:17)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Intégration par parties

Salut

Déjà :

[tex]\int xe^{-kx} dx =-\frac{x}{k}e^{-kx} - \int -\frac{1}{k}e^{-kx} dx = -\frac{x}{k}e^{-kx}-\frac{1}{k^2}e^{-kx}+cste [/tex]

[tex]\int xe^{-kx} dx = -\frac{kx+1}{k^2}e^{kx}+cste[/tex]

d'où
[tex]\int_0^{+\infty} xe^{-kx} dx = \left[-\frac{kx+1}{k^2}e^{-kx}\right]_0^{+\infty}[/tex]

@+

mathovore

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Re : Intégration par parties

Salut Yoshi

Déjà un grand merci pour ta réponse.
Et  ensuite comment fais t-on pour intégrer avec des bornes infinies?

Fred

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Re : Intégration par parties

Salut,

  L'expression [tex] \left[-\frac{kx+1}{k^2}e^{-kx}\right]_0^{+\infty}[/tex] signifie simplement

[tex]\lim_{x\to +\infty} -\frac{kx+1}{k^2}e^{-kx} - \frac{k\times 0+1}{k^2}e^{-k\times 0}[/tex]

Fred.

mathovore

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Re : Intégration par parties

Merci mais ça j'avais compris mais je suis censée trouver [tex]\frac{1}{K}[/tex] ça fait trois heures que je suis dessus rien n'y fait. Je n'arrives pas à "résoudre" la limite. Ce n'est pas plutôt cela:
[tex]\displaystyle \lim_{x\to +\infty} -\frac{kx+1}{k^2}e^{-kx} + \frac{k\times 0+1}{k^2}e^{-k\times 0}[/tex]??

Dernière modification par mathovore (14-11-2013 22:27:08)

freddy

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Re : Intégration par parties

Salut,

  L'expression [tex] \left[-\frac{kx+1}{k^2}e^{-kx}\right]_0^{+\infty}[/tex] signifie simplement

[tex]\lim_{x\to +\infty} -\frac{kx+1}{k^2}e^{-kx} + \frac{k\times 0+1}{k^2}e^{-k\times 0}[/tex]

Fred.

Salut,

je viens de corriger une petite erreur de signe de Fred et je te ferai observer qu'il a été calculé [tex]\frac{\lambda}{k}[/tex]

Il ne te reste plus qu'à conclure comme un grand !

mathovore

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Re : Intégration par parties

Je te remercie  !

Fred

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Re : Intégration par parties

Re-

  Désolé pour l'erreur de signe. Résoudre la limite, tu veux dire la calculer? Et si tu utilisais la croissance comparée de l'exponentielle et des polynômes?????

F.

mathovore

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Re : Intégration par parties

Je sors de terminale S et vu que le programme a changé on en a jamais fait l'année dernière mais bon je vais essayer de trouver et puis si je ne trouves pas je reposerais des questions. Merci pour ta réponse

mathovore

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Re : Intégration par parties

Comme je connais le résultat,  je suppose que [tex]\displaystyle \lim_{x\to +\infty} -\frac{kx+1}{k^2}e^{-kx}=0[/tex] car c'est le seul moyen ,je pense, d'obtenir [tex]1/K[/tex] mais j'avoue que j'ai du mal à comprendre pourquoi.
Après une brève recherche sur le net j'ai trouvé que [tex]\displaystyle \lim_{x\to +\infty} xe^{-x}=0[/tex] du coup j'ai finis par trouver
Merci beaucoup.

Dernière modification par mathovore (14-11-2013 23:03:25)

Fred

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Re : Intégration par parties

Parce que [tex]\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0[/tex] (c'est une limite que normalement on apprend en terminale, à moins que tu n'ais appris que [tex]\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}x=+\infty[/tex], ce qui est exactement la même chose en passant à l'inverse.

F.

mathovore

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Re : Intégration par parties

Merci oui j'ai trouvé je te remercie et  je pense que je dois revoir mes cours de terminale cependant c'est marrant parce que je n'en aurais dans un mois plus besoin jusqu'à la fin de ma vie pour les études que je fais.

Dernière modification par mathovore (14-11-2013 23:10:26)