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Marie-Stéphane

Invité

Conservation d'angles par l'inversion dans le plan complexe

Bonjour !

Soit f l'inversion de pôle O et de puissance 1, qui affecte pour tout point M d'affixe z non nul le point M' d'affixe [tex]z'=\frac{1}{\overline{z}}[/tex].
Soit [tex]D_1[/tex] et [tex]D_2[/tex] deux droites qui se coupent en un point A différent de O, et formant en A un angle [tex]\theta[/tex] non orienté.
Je voudrais démontrer, à l'aide d'un argument avec des COMPLEXES, que les images [tex]f(D_1)[/tex] et [tex]f(D_2)[/tex] se coupent en A'=F(A), formant le même angle [tex]\theta[/tex].
J'ai déjà préalablement montré qu'une droite passant par 0 est invariante par f, tandis que l'image d'une droite ne passant pas par O est un cercle qui ne passe pas par O. Il y a donc trois cas à traiter:
- le cas où les deux droites passent par O, c'est évident.
- le cas où une droite passe par O et l'autre non, alors il faut montrer que la tangente du cercle en A' forme le même angle que [tex]D_1[/tex]
- le cas où les deux droites qui ne passent pas par O, et où on aurait alors affaire à deux cercles

Je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour les deux derniers cas... En plus, il faut considérer la tangente d'un cercle en un point donné, ce qui me semble pas très clair... Et comment exprimer l'angle [tex]\theta[/tex] ?
Je connais les équations complexes d'une droite et d'un cercle dans le plan.
Si quelqu'un pouvait m'éclairer... Merci !

Fred

Administrateur

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Re : Conservation d'angles par l'inversion dans le plan complexe

Bonjour,

  Je vais essayer de t'expliquer le dernier cas. On va partir de la propriété suivante : si deux cercies [tex]C_1,C_2[/tex] se coupent en deux points [tex]E,F[/tex], alors les angles formés par les tangentes en [tex]E[/tex] et par les tangentes en [tex]F[/tex] sont égales.

Notons maintenant [tex]C_1[/tex] l'image de la première droite et [tex]C_2[/tex] l'image de la deuxième droite. On sait que ces deux cercles se coupent en [tex]O[/tex] et en [tex]A'[/tex]. Pour montrer que les deux tangentes en [tex]A'[/tex] forment un angle [tex]\theta[/tex], il suffit de vérifier que les deux tangentes en [tex]O[/tex] forment le même angle. Or, la tangente à [tex]C_1[/tex] en [tex]O[/tex] est parallèle à la droite de départ [tex]D_1[/tex], et la tangente à [tex]C_2[/tex] en [tex]O[/tex] est parallèle à la droite de départ [tex]D_2[/tex]. Les deux tangentes forment bien un angle en [tex]O[/tex] identique aux deux droites [tex]D_1,D_2[/tex] en [tex]A[/tex].

F.