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jijiiii

Invité

difféomorphisme

Bonsoir,

Soit [tex]f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2[/tex] une application définie par [tex]f(x,y)=(x+a\sin y,y+b\sin x)[/tex] telles que [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] sont deux réels positifs tels que [tex]ab<1[/tex].
1- Montrer que [tex]f:\mathbb{R^2}\to f(\mathbb{R}^2)[/tex] est un difféomorphisme.
2- Prouver que [tex]f(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R^2}[/tex].
J'ai réglé la question 1).
Mon problème est de répondre à la question 2).
Je vous remercie de l'aide.

Fred

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Re : difféomorphisme

Bonjour,

  Prenons un couple [tex](u,v)\in\mathbb R^2[/tex]. Alors on cherche [tex](x,y)[/tex] tels que [tex]x+a\sin y=u,\ y=v-b\sin x[/tex].

Il suffit donc de trouver [tex]x[/tex] tel que [tex]x+a\sin(v-b\sin x)=u[/tex].

Autrement dit, pour [tex]v \in\mathbb R[/tex] fixé, on peut poser
[tex]g(x)=x+a\sin(v-b\sin x)[/tex] et il suffit de prouver que cette fonction vérifié [tex]g(\mathbb R)=\mathbb R[/tex]. Et là, tu as tous les outils pour étudier les fonctions d'une variable réelle à ta disposition.

Fred.

jijiiii

Invité

Re : difféomorphisme

Il suffit d'utiliser le point fixe pour montrer l'unicité de [tex]g[/tex]. Mais pour montrer l'existence (et l'unicité de ) [tex]y[/tex] on fait comment?

jijiiii

Invité

Re : difféomorphisme

Il faut montrer que [tex]g[/tex] est contractante. Soit [tex]x,x'\in \mathbb{R}[/tex].
[tex]|g(x)-g(x')|=|x+a\sin(v-b\sin x)-x'-a \sin (v-b \sin x')| \leq |x-x'| + a |\sin (v-b \sin x)- \sin (v-b\sin x')|[/tex]
puis par l'inégalité des accroissements finis et les propriétés de [tex]\sin[/tex], on obtient:
[tex]|g(x)-g(x')| \leq |x-x'| + ab |x-x'| = (1+ab) |x-x'|[/tex]
mais [tex]1+ab > 1[/tex]. Donc g n'est pas contractante. Comment on fait dans ce cas?

Fred

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Re : difféomorphisme

[tex]g[/tex] est strictement croissante (calcule sa dérivée), continue, et tu peux étudier ses limites aux bornes....

Fred.

jijiiii

Invité

Re : difféomorphisme

Franchement, je ne connait pas ce théorème. Comment s'appelle ce théorème s'il te plait? (donc on n'a pas besoin du point fixe!)

jijiiii

Invité

Re : difféomorphisme

[tex]\lim_{x->+\infty} g(x)=+\infty[/tex] et [tex]\lim_{x->-\infty} g(x)=-\infty[/tex] . Donc on conclut comment ? svp

Fred

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Re : difféomorphisme

[tex]g[/tex] est continue et strictement croissante donc, d'après le calcul des limites, réalise une bijection de [tex]\mathbb R[/tex] sur [tex]\mathbb R[/tex]!!!!!
C'est un théorème de Terminale!!!!

jijiiii

Invité

Re : difféomorphisme

Je pensais à faire trop compliqué...
Donc [tex]g[/tex] réalise une bijection et donc [tex]g(\mathbb{R})=\mathbb{R}[/tex].
mais ce qu'on veut, c'est montrer que [tex]f(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R}^2[/tex]. Comment revenir à f. Et surtout, il nous faut l'unicité du couple (x,y).

Fred

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Re : difféomorphisme

Si tu relis bien mon premier post, puisque [tex]g(x)=v[/tex] a toujours une solution, en posant ensuite [tex]y=v-b\sin x[/tex], l'équation
[tex]f(x,y)=(u,v)[/tex] admet toujours une solution, donc [tex]f(\mathbb R^2)=\mathbb R^2[/tex].

Tout le reste ensuite vient de la première question. Puisque tu as démontré que c'est un difféomorphisme de [tex]\mathbb R^2[/tex]
sur [tex]f(\mathbb R^2)=\mathbb R^2[/tex], en particulier, [tex]f[/tex] est bijective.

F.

jijiiii

Invité

Re : difféomorphisme

Donc puisque [tex]g(x)=x[/tex], et par la relation [tex]y = v - b \sin x[/tex] alors on conclut que pour tout [tex](u,v)[/tex] fixé, il existe [tex](x,y)[/tex] tel que [tex]f(x,y) = (u,v)[/tex]. Ce qui montre que [tex]f[/tex] est surjective de [tex]\R^2[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex](mais pas tout à fait, puisqu'il nous faut k'unicité).
S'il vous plait, comment conclure avec le fait que $f$ soit un difféomorphisme de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] dans [tex]f(\mathbb{R}^2[/tex]

Fred

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Re : difféomorphisme

Dans surjective, il n'y a pas l'unicité.

Et tu as déjà démontré à la première question que [tex]f[/tex] est un difféomorphisme de [tex]\mathbb R^2[/tex] sur son image. Donc que [tex]f[/tex] est injective!!!!

jijiiii

Invité

Re : difféomorphisme

Donc, pour montrer que [tex]f(\R^2)=\mathbb{R}^2[/tex], il faut et il suffit de montrer que [tex]f[/tex] est bijective.
Puisque [tex]f[/tex] est un difféomorphisme de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] dans [tex]f(\R^2)[/tex], alors [tex]f[/tex] est injective.
Il reste à montrer la surjectivité de f, et pour ca on étudie la fonction g comme indiqué plus haut.
Donc, f est bijective et on peut conclure que [tex]f(\R^2)=\R^2[/tex].

Mais on aurait pu montrer l'injectivité de f sans avoir eu besoin que f soit un difféomorphisme. Puisque pour que f soit un difféomorphisme, on montre que f est injectif et que la jacobienne de f ne s’annule jamais. Non?

jijiiii

Invité

Re : difféomorphisme

Voici comment j'ai montré que [tex]f[/tex] est un difféomorphisme de [tex]\mathbb{R^2}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex]: on utilise le théorème d'inversion globale, ce qui revient à montrer que f est injective et que la Jacobienne de f ne s'annulle jamais.
1- injectivité de f: soient (x,y) et (x',y') dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. On suppose que f(x,y)=f(x',y') et on montre que (x,y)=(x',y').
f(x,y)=f(x',y') ssi [tex]x+a \sin x = x' + b \sin x'[/tex] et [tex]y+b \sin x = y' + b \sin x'[/tex]. On a [tex]|x-x'|=a|\sin y' - \sin y| \leq a |y'-y|[/tex] et [tex]|y-y'| = b |\sin x' - \sin x| \leq b |x'-x|[/tex]
on conclut que [tex]|y-y'|\leq ab|y-y'|[/tex] et [tex]|x-x'|\leq ab |x-x'|[/tex] et puisque [tex]ab < 1[/tex] alors [tex]|x-x'|=0[/tex] et [tex]|y-y'|=0[/tex]. Donc [tex](x,y)=(x',y')[/tex]. D'où l'injectivité de f.
Aussi, [tex]J(f)= 1 - ab \cos x \cos y \neq 0[/tex]. Donc par le th d'inversion globale, on conclut que f est un difféomorphisme.

2- Montrer que [tex]f(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R}^2[/tex]. Pour ca, il faut et il suffit de montrer que f est bijective.
Pour montrer la surjectivité de f, on utilise la fonction g comme vous l'avez indiqué.
pour l'injectivité, puisque f est un difféomorphisme de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] dans [tex]f(\mathbb{R}^2[/tex], alors f est injective. Donc f est bijective, d'où l'égalité.
C'est la bonne rédaction? ( malgès que je comprend pas pourquoi on a besoin que f soit un difféomorphisme puisque l"injectivité suffit)

Fred

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Re : difféomorphisme

Quand on te demande de démontrer que [tex]f(\mathbb R^2)=\mathbb R^2[/tex], on te demande simplement de démontrer que [tex]f[/tex] est surjective, rien de plus....

jijiiii

Invité

Re : difféomorphisme

Alors je ne comprend plus pourquoi vous avez dis: Tout le reste ensuite vient de la première question. Puisque tu as démontré que c'est un difféomorphisme de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] sur [tex]f(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R}^2[/tex] , en particulier, f est bijective.

J'ai compris jusqu'au point où on conclut que pour tout (u,v), il existe (x,y) tel que (u,v)=f(x,y). Après, c'est quoi la conclusion ?

Fred

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Re : difféomorphisme

La conclusion, c'est que [tex]f(\mathbb R^2)=\mathbb R^2[/tex] puisque tout élément de [tex]\mathbb R^2[/tex] a un antécédent par [tex]f[/tex].

jijiiii

Invité

Re : difféomorphisme

En résumé, pour montrer que [tex]f(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R}^2[/tex] il suffit de montrer que chaque couple (u,v) a un antécédent par f. (Pas besoin de l'unicité).
Mais quand est-ce qu'on a besoin de l'unicité?

Fred

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Re : difféomorphisme

Quand on veut montrer que c'est bijectif....