Forum de mathématiques - Bibm@th.net

momoyoyo

Invité

integrale

bonjour

çava?????

Je veux calculer cette integrale et je suis bloqué...
MONTRER QUE :

$$
\eqalign{
  & \int\limits_0^1 {\left[ {AX} \right]} \left[ {BX} \right]dx = (A - 1)(B - 1)(4AB + A + B + 1)/12AB{\rm    et}  \cr
  & {\rm  PGCD(A}{\rm ,B) = 1} \cr}
$$

yoshi

Modo Ferox

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Re : integrale

Bonsoir,

J'ignore si les autres sont comme moi...
Mais j'assume le fait de ne rien comprendre à ton intégrale...
Plusieurs remarques,
1. Tu as utilisé LateX pour un document, cours, exercice, mais ce n'est pas du LateX pour un forum.
     Le LateX pour un forum c'est ça : Code LateX
2. Le x de dx est en minuscule, pourquoi AX et BX en majuscules ?
3. Que sont A et B ? AX et BX ?  si [AX] et [BX] correspondent à des notations conventionnelles, j'ignore lesquelles et apparemment le site Wolfram Mathematica non plus :

Sorry, The Integrator cannot understand what you entered. See the How to Enter Input page for suggestions.

pourtant, je peux te dire que le programme qui fait le boulot est diablement au point...
Pour des exemples de ce qu'il peut faire :
http://integrals.wolfram.com/
et clique sur RANDOM EXAMPLE.

@+

freddy

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Re : integrale

Salut,

tout comme toi !

ymagnyma

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Re : integrale

Je n'y comprend rien non plus, et même moins que ... rien, car, en jouant un peu, prenons A = B = 1, où A et B sont des nombres ou des polynômes, on ne sait pas trop, mais ça donnerait l'intégrale d'un carré qui vaut zéro, et ça, ça devrait poser problème, non ?

Bien sur, si dès le départ, ça n'a pas de sens, rien d'étonnant qu'un cas particulier puisse poser problème.

Roro

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Re : integrale

Bonsoir,

Il me semble que les notations sont les suivantes : A et B sont deux nombres entiers (avec pgcd(A,B)=1), et que [x] correspond à la partie entière du réel x. L'auteur a aussi sans doute confondu x et X qui sont les mêmes...

Ceci étant dit, je ne sais pas comment répondre à la question... mais ça ne semble pas impossible ! (peut être à l'aide de changement de variable pour se ramener à des calculs d'intégrale de [x] et non pas de [Ax]...)

Roro.

ymagnyma

Membre

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Re : integrale

Oui, ça doit être ça.
Du coup, j'ai essayé en découpant [0 , 1] en AB intervalles de pas [tex]\frac{1}{AB}[/tex] pour calculer la somme des intégrales entre [tex]\frac{i}{AB}[/tex] et [tex]\frac{i+1}{AB}[/tex] pour i allant de 0 à AB-1, mais je coince pour le moment.
J'en suis à [tex]\frac{i}{B}<Ax<\frac{i+1}{B}[/tex] et bien sur, [tex]\frac{i}{A}<Bx<\frac{i+1}{A}[/tex].
Là, furieuse envie de passer à la partie entière, qui est croissante, d'où :
[tex]E(\frac{i}{B}) \leqslant E(Ax) \leqslant E(\frac{i+1}{B})[/tex] et bien sur, [tex]E(\frac{i}{A}) \leqslant E(Bx) \leqslant E(\frac{i+1}{A})[/tex].

Et donc là, il me manque une lumière.

Dernière modification par ymagnyma (02-10-2013 10:20:53)

amatheur

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Re : integrale

salut
c'est vraiment pas de la tarte cet intégral, peut être qu'il requiert l'usage de méthodes pas "très élémentaires", j’espère que Fred nous dira ce qu'il en pense. ( juste pour épargner à quelques-uns une bataille perdue d'avance ^^)
PS: concernant la notation, j'ai adopté l'explication fournie par Roro au poste 5.
@+

JJ

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Re : integrale

, Bonjour,

Le symbole utilisé par momoyoyo signifie "partie entière" : La formule est alors bien vérifiée analytiquement.
On arrive sans difficulté majeure à le démonter en exprimant les parties entières sous forme de séries de Fourrier.
Ma démo tient en moins d'une page. Mais je n'ai pas le temps (ni l'envie pour parler franc) de dactylographier cela en LATEX.
Bien volontier, je fournirai une copie (formt .jpg) à ceux qui me contacteront par messagerie personnelle.
Si le gestionnaire du forum le souhaite, je tiens à sa disposition cette page pour qu'il l'attache à mon post, ce que je ne peux pas faire moi-même.

Dernière modification par JJ (05-10-2013 11:23:36)

yoshi

Modo Ferox

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Re : integrale

RE

Si le gestionnaire du forum le souhaite, je tiens à sa disposition cette page pour qu'il l'attache à mon post, ce que je ne peux pas faire moi-même.

Si par attacher à ton post, tu entends joindre une image dans ton post, si, bien sûr, tu peux le faire...
C'est ça ?
Si oui,
1. Scanner l'image,
2. Veiller à ce qu'elle ne soit pas trop lourde (<100 ko serait bien) et à sa dimension.
3. Déposer l'image sur casimages.com, hiboox, imageshack.us par exemple,
4. Relever l'adresse correspondant à pour un forum ou "direct link to image" ou...
5. Dans ton message tu relèves l'adresse entre les 2 balises [img ] et [/img ] (sans les espaces avant les crochets fermants), balises incluses...
6. Exemples :
Avec casimages : [img ]http://nsa33.casimages.com/img/2013/09/ … 999012.jpg[/img ]
pour voir ce que ça donne sans les espaces dans les crochets aller à http://www.bibmath.net/forums/edit.php?id=41969 post #4
Avec imageshack.us :
[img ]http://img69.imageshack.us/img69/5489/lk83.png[/img ]
pour voir ce que ça donne sans les espaces dans les crochets aller à http://www.bibmath.net/forums/edit.php?id=9803

Donc, mets ton image en ligne, je transcrirai en LaTeX puis intégrerai le code dans ton post...
Ça te va ?

@+
.

JJ

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Re : integrale

Voilà le lien :
www.casimages.com/img.php?i=131005055600880454.jpg
Merci pour la proposition, mais je ne vois pas trop l'intérêt de passer du temps à le retanscrire en LATEX, ce qui, de plus, risque d'introduire des fautes et/ou des défauts dans la présentation.
Cordialement,
JJ.

Dernière modification par JJ (05-10-2013 17:13:40)

ymagnyma

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Re : integrale

... Je n'aurais pas trouvé, je ne connaissais même pas ce développement pour la partie entière.
     C'est effroyablement beau.
                                               ...

yoshi

Modo Ferox

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Re : integrale

Re,

je ne vois pas trop l'intérêt de passer du temps à le retanscrire en LATEX,

Moi, j'en vois une bonne : nous ne sommes pas certains de la durabilité de l'image.
Ces sites accueillent des images gratuitement, certes mais rien ne dit qu'ils vont durer longtemps ou si un jour, ils ne deviendront pas payants...

ce qui, de plus, risque d'introduire des fautes et/ou des défauts dans la présentation.

Nan, mon ami, pas du tout ! Je te certifie qu'il n'y a aucun risque, si je fais cette proposition, c'est que je l'ai déjà fait : il y avait 3 pages de bouquin et tout était conforme à l'original, je contrôle minutieusement.
Pour avoir examiné de près ta présentation, je ne vois pas bien où je pourrais la trahir...

@+

JJ

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Re : integrale

@ yoshi :
Cher ami, je disais cela dans une bonne intention : Eviter de passer du temps à un travail ingrat, demandant soin et attention !
Ceci dit, j'admire ce genre de bénévolat.

@ yamaghyma :
je ne prétends pas que ce soit la seule méthode. Peut-être que quelqu'un aura une idée plus simple.

Fred

Administrateur

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Re : integrale

C'est très joli.
On voit notamment très bien où l'on se sert du fait que A et B sont premiers entre eux deux à deux....

Fred.

amatheur

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Re : integrale

re
c'est élégant!
@+

JJ

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Re : integrale

Signalement d'une faute de frappe dans le document publié au post #10
A la quatrième ligne avant la fin, au lieu de sin(2*n*pi*A*B*x), il faut bien évidemment lire sin²(2*n*pi*A*B*x)

totomm

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Re : integrale

Bonsoir,

On peut aussi calculer uniquement dans [tex]\mathbb{N} [/tex] en utilisant directement la division euclidienne après avoir remarqué, pour l'intégration [tex] I [/tex]  cherchée, que :
[tex] I\times AB\ =\ \sum_{i=1}^{AB-1}{E((i/A) \times  E(i/B)}  [/tex]
en notant [tex] E(i/A) [/tex] la partie entière de la division de [tex]  i\ par\ A [/tex]
(C'est la tentative de ymagnyma au post #6)

posant [tex] E(i/A)\ = \ \frac{i-(i \mod A)}{A}  [/tex]
Alors [tex] I\times A^2B^2\ =\ \sum_{i=1}^{AB-1}{ (i-(i \mod A)) \times  (i –(i \mod B))}  [/tex]
[tex] =\ \sum_{i=1}^{AB-1}{[i^2- i(  i \mod A)- i(  i \mod B) + (  i \mod A)*(  i \mod B) ] }  [/tex]

[tex]  I\times A^2B^2\ =\ S1-S2-S3+S4 [/tex] avec :

[tex] S1 =\ \sum_{i=1}^{AB-1}{i^2}=  \frac{(AB-1)AB(2AB-1)}{6}[/tex]
[tex] S2 =\ \sum_{i=1}^{AB-1} {i(  i \mod A)} =\ \sum_{i=1}^{A-1}{i\sum_{j=0}^{B-1}{i+jA} }\ =\ \frac{AB(A-1)(3AB+A-2)}{12} [/tex]
[tex] S3 =\ \sum_{i=1}^{AB-1} {i(  i \mod B)} =\ \sum_{i=1}^{B-1}{i\sum_{j=0}^{A-1}{i+jB} }\ =\ \frac{AB(B-1)(3AB+B-2)}{12} [/tex]
[tex] S4 =\ \sum_{i=1}^{AB-1} {(  i \mod A)*(  i \mod B)}\ =\ \frac{AB(A-1)(B-1)}{4}   [/tex] (parce que A et B premiers entre eux)

Il reste à sommer (attention au signe MOINS pour S2 etS3) et on retrouve bien :

[tex] I\times 12AB\ =\ 4A^2B^2-3A^2B-3AB^2+3AB-A^2-B^2+1\ =\ (A-1)(B-1)(4AB+A+B+1)[/tex]

ymagnyma

Membre

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Re : integrale

Totomm : et la lumière fut !

C'est aussi joli ce : 

[tex] E(i/A)\ = \ \frac{i-(i \mod A)}{A}  [/tex]

.

Merci.

Dernière modification par ymagnyma (11-10-2013 17:00:27)